La vie n'est bonne qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.
Blaise Pascal
Les cours de mathématiques, ce n'est pas toujours si concret que cela : en témoigne le nombre 𝑖, qui figure parmi les nombres complexes, et dont l'utilisation en maths peut paraître assez difficile. Pourtant, rassurez-vous : le terme d'imaginaire n'est pas le plus approprié pour parler de la difficulté de compréhension !
Qu'est-ce qu'un nombre imaginaire, en bref ? Un nombre imaginaire est un nombre qui contient l'unité imaginaire 𝑖, définie par l'égalité :
À quoi sert-il ? Entre autres, à donner un sens aux racines carrées de nombres négatifs ! En effet, saviez-vous que les calculs de racine carrée d'un nombre négatif ne peuvent pas être résolus avec des nombres réels ? 𝑖 permet justement de combler cette lacune, avec par exemple :
Un nombre imaginaire est un nombre dont le carré est soit négatif soit nul. Il permet de résoudre des équations permettant de trouver le carré d'un nombre négatif ! Les nombres imaginaires font partie des nombres complexes.
Définition d’un nombre imaginaire et de l’unité imaginaire 𝑖
En mathématiques, l'unité imaginaire est notée 𝑖. Elle est définie ainsi :
𝑖 n'est donc en aucun cas égale, en tant qu'unité, à -1 ! C'est son carré qui est égal à -1.
Ainsi, nous avons l'unité fondamentale définie par la relation :
Bien que son nom prête à confusion sur sa cohérence, l'unité imaginaire i est parfaitement intégrée dans la logique mathématique, et en aucun cas "imaginaire" ne signifie "inexistant", "faux" ou "irréel" !
Le i est défini en mathématiques comme un nombre complexe dont l'assimilation est simple, mais requiert des facultés d'abstraction.
En maths, certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle car il n'existe pas de nombre réel dont le carré est négatif. Cela signifie que l'on ne peut multiplier une valeur par elle-même sans produire un résultat positif : par exemple, 2² font 4, tout comme (-2)².
Pour saisir cette propriété mathématique, il faut remonter aux cours de mathématiques du secondaire, où l'on apprend la règle des signes : multiplier, soustraire, diviser ou multiplier plus par plus donne plus, moins par plus et plus par moins donnent un signe négatif, et moins par moins donne un signe positif.
Si le théorème mathématique veut que le produit de deux nombres négatifs est positif, alors on déduit que le carré de tout nombre, même négatif, est positif. Au cours des nombreux siècles de l'histoire des mathématiques, c'est la recherche de racines carrées pour des nombres négatifs qui a conduit à l'invention du nombre imaginaire i, ainsi que des nombres complexes.
Un nombre complexe est l'assemblage d'un nombre réel (exemple : 36) et d'un nombre imaginaire pur, comme 7𝑖 par exemple. Or, l'ensemble des nombres complexes est envisagé comme extension de l'ensemble des nombres réels contenant un nombre imaginaire noté 𝑖 exposant (a;b) tels que 𝑖 = racine carrée de -1 et 𝑖² = -1, avec le carré de (-i) aussi égal à -1.
Le principe est que tout nombre peut s'écrire sous la forme a + 𝑖 b, où a et b sont des nombres réels, négatifs ou positifs. La racine carrée de -4 est donc égale à 2𝑖 ! Tout nombre de la forme b 𝑖, où b est différent de 0, est donc un imaginaire pur.
C'est pour cela que les nombres "racine carrée de -4 = 2𝑖", ou encore "racine carrée de -16 = 4𝑖", sont des nombres imaginaires. Si la racine carrée de -1 n'existe pas, on ne peut donc pas estimer de décimales exactes ou approchées comme on le fait pour les racines de nombres positifs (exemple, racine carrée de 5 = 2,236).
Les mathématiciens ont alors trouvé de façon spécifique des nombres qui, mis au carré, donnent un résultat négatif. Ces nombres, dits « imaginaires », et leur généralisation, les nombres complexes, se sont imposés dans tous les domaines des mathématiques, car ils ont ouvert de nouveaux champs de recherche et facilitent la résolution de diverses questions difficiles. Les physiciens les ont aussi adoptés, car ils simplifient les calculs.
Marc-Olivier Renou, Antonio Acin et Miguel Navascués, Revue scientifique Pour la Science
Nombre imaginaire, imaginaire pur et nombre complexe : quelles différences ?
L’unité imaginaire : 𝑖
𝑖 est l'unité imaginaire elle-même, autrement dit l'élément de base utilisé pour écrire tout nombre imaginaire. Le nombre 𝑖 est ainsi un concept permettant de concevoir toute une famille de racines carrées de nombres négatifs ! Il s'agit d'un symbole tout à fait cohérent dans un système de calcul bien défini, comme vous pouvez le voir.
Les nombres imaginaires purs : b𝑖
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe au sein duquel la partie réelle est nulle, autrement dit égale à zéro, et qui s'écrit b𝑖.
Ainsi, b est le coefficient imaginaire et n'est jamais nul.
Cependant, a doit systématiquement être nul, ce qui donne :
Quelques exemples de nombres imaginaires purs :
- -3𝑖
- 7𝑖
- 𝑖
- -5𝑖
En revanche, 2 + 6𝑖 n'est pas un nombre imaginaire pur car le a (ici, 2) n'est pas nul !
Les nombres complexes : a + b𝑖
𝑖 est à la fois un nombre imaginaire pur et un nombre complexe. Ne confondez cependant pas 𝑖 en tant que nombre imaginaire pur et 𝑖 en tant que nombre complexe :
𝑖 en tant que nombre imaginaire pur
𝑖 est le nombre imaginaire pur fondamental
Il s'agit d'un nombre qui n'a aucune partie réelle car celle-ci vaut alors 0
𝑖 en tant que nombre complexe
𝑖 fait partie de la grande catégorie des nombres complexes
Il dispose alors d'une partie réelle et d'une partie imaginaire (sous la forme a + b𝑖)
Dans leur forme algébrique, les nombres complexes se présentent de la manière suivante, avec la formule :
Le nombre a correspond à la partie réelle, tandis que la partie b correspond à la partie imaginaire. Il faut d'abord comprendre que les nombres complexes comprennent à la fois des nombres réels et des nombres imaginaires. Plus exactement, on retrouve les appellations suivantes :
N
Ensemble des entiers naturels
Z
Ensemble des entiers relatifs
D
Ensemble des décimaux
Q
Ensemble des rationnels
R
Ensemble des réels
C
Ensemble des complexes
3 + 2𝑖 est un nombre complexe, représentant d'ailleurs la forme complexe classique, avec une partie réelle (3) et une partie imaginaire (le 2 accolé au 𝑖). 3 + 2𝑖 est donc un nombre complexe, cependant il ne s'agit pas d'un nombre imaginaire pur, étant donné que par définition, l'une de ses parties est réelle et non nulle (ici, le 3).
En revanche, -4𝑖 est à la fois un nombre complexe et un nombre imaginaire pur. Pourquoi ? Parce que -4𝑖 dispose d'une partie réelle nulle, donc égale à 0. Il n'a certes que du 𝑖, cependant -4𝑖 est égal à 0 – 4𝑖, ce qui fait de lui à la fois un nombre complexe et un nombre imaginaire pur !
Ce qui est étonnant ici est que même un chiffre ou nombre classique tel que 8, par exemple, peut être considéré comme un nombre complexe ! Pourquoi ? Parce qu'il est possible d'écrire : 7 + 0i, ce qui revient au même, simplement on a ajouté le +0i, car le nombre complexe en question dispose d'une partie imaginaire nulle (égale à 0).
Unité imaginaire
Forme générale : 𝑖
Caractéristiques : Son carré vaut -1 (𝑖² = -1)
Exemples : 𝑖, 𝑖 = √-1
Imaginaire pur
Forme générale : b𝑖 (ou 0 + b𝑖)
Caractéristiques : Une partie réelle nulle (a = 0) et une partie imaginaire non nulle (b ≠ 0)
Exemples : 7𝑖 ; -4𝑖 ; 0,8𝑖
Nombre complexe
Forme générale : a + b𝑖
Caractéristiques : Une partie réelle (a) et une partie imaginaire (b)
Exemples : 3 + 7𝑖 ; 1 - 𝑖 ; -9 + 0𝑖
Comment calculer avec les nombres imaginaires ?
Les puissances de 𝑖
Comme les nombres réels, 𝑖 a des puissances.
valeurs répétées à l'infini. Ainsi, nous obtenons :
- 𝑖¹ = 𝑖
- 𝑖² = -1
- 𝑖³ = -𝑖
- 𝑖⁴ = 1
- 𝑖⁵ = 𝑖 (le cycle recommence !)
- 𝑖⁶ = -1
Addition et soustraction de nombres complexes
L'addition et la soustraction des nombres complexes se déroulent exactement de la même façon que pour les calculs algébriques classiques.
Il y a cependant une règle absolue ici : on additionne et soustrait les parties réelles entre elles, et les parties imaginaires entre elles !
Ainsi, nous avons par exemple :
Multiplication avec 𝑖
Lorsque l'on multiplie les nombres complexes, on remplace systématiquement 𝑖² par -1, ce qui simplifie largement les opérations. En effet, nous avons par exemple :
- (2 + 𝑖) x (3 - 2𝑖) → 6 – 4𝑖 + 3𝑖 - 2𝑖² → 6 – 𝑖 - 2𝑖² → 6 – 𝑖 - 2 x (-1) → 6 + 2 – 𝑖 → 8-𝑖
Calculer une racine carrée négative
Pour calculer une racine carrée négative, ce qui est, rappelons-le, uniquement possible avec le nombre imaginaire 𝑖, il faut tout simplement mettre le signe moins de côté, puis on calcule normalement, et on rajoute ensuite un 𝑖 pour bien rappeler qu'il s'agit d'un nombre négatif ! Ainsi :
Etape n°1 :
Etape n°2 :
Etape n°3 :
Etape n°5 :
Représenter les nombres complexes dans le plan complexe
Parlons à présent de la représentation graphique de ces fameux nombres complexes, n'est-ce pas ? Comme en géométrie classique, x est l'abscisse et y l'ordonnée. Cependant, au lieu d'écrire x et y, on écrit alors a (partie réelle) pour la ligne horizontale, et le coefficient imaginaire b (partie imaginaire) pour la ligne verticale !
Chaque nombre complexe, représenté par :
peut être représenté sur le point de coordonnées suivant :
Exemple : Le nombre complexe :
correspond au point placé à 3 sur l'axe horizontal et à 2 sur l'axe vertical, soit le point de coordonnées :
À quoi servent les nombres imaginaires ?
Résoudre des équations mathématiques
L'utilisation et l'application des nombres complexes sont multiples en exercices de maths. Mais pourquoi donc avoir créé des nombres imaginaires ? En fait, le nombre i permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle. Voici deux exemples :
L'équation x + 8 = 1 n'a pas de solution dans les ensembles de nombres naturels (x étant égal à -7), mais elle en a dans l'ensemble des nombres relatifs
L'équation x² = 2 (x = racine de 2) n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres rationnels, mais elle en a une dans l'ensemble des nombres irrationnels
En fait, grâce au nombre imaginaire noté i, on a pu résoudre absolument toutes les équations, qu'il s'agisse de nombres entiers, d'irrationnels ou de nombres décimaux.
Électricité, électronique et informatique
L'utilisation du nombre imaginaire a également permis d'avancer dans la recherche physique et en électricité : le nombre i a permis l'étude des circuits imprimés des ordinateurs et est donc à la base de la révolution informatique du XXe siècle. C'est à l'aide des nombres complexes que les ingénieurs peuvent donc décrire le comportement des circuits électroniques.
Physique, ondes et mécanique quantique
Le passage aux nombres complexes et imaginaires purs permet la résolution de problèmes insolubles sans ce nombre i, pour certaines intégrales par exemple.
Les nombres complexes sont aussi utilisés par les ingénieurs lorsqu'ils ont à faire des calculs de formes d'ondes (en acoustique ou en électronique) ou de flux (aérodynamique, hydrodynamique) et sont employés dans l'utilisation des radars, de l'imagerie ou du sonar.
Brève histoire des nombres imaginaires
lorsque Gerolamo Cardano (1501-1576), alias Jérôme Cardan, un mathématicien italien, introduit pour résoudre une équation du troisième degré.
Raphaël Bombelli (1526-1572 ou 1573) est le premier mathématicien à avoir élaboré des règles de calcul sur les "nombres impossibles" dans Algebra (algèbre) où apparaissent les premières propriétés des nombres complexes. Le nombre i prend naissance suite à la recherche de solutions non réelles pour des équations du troisième degré, des équations polynomiales avec une racine cubique.
En 1637, le philosophe français René Descartes (1595-1650) baptise ces valeurs impossibles des nombres imaginaires. Plus tard, la notation i apparaît en 1777 sous l'impulsion des travaux de Leonhard Euler (1707-1783) - oui, l'inventeur du nombre e pour calculer la fonction exponentielle ! -, pour les nombres qu'il qualifie d'impossibles ou imaginaires.
siècle, notamment grâce aux travaux de C. F. Gauss (1777-1855), ces nombres complexes imaginaires purs finissent par être considérés comme des nombres à part entière.
L'intérêt des nombres complexes tels que e ou i est de pouvoir, selon Augustin Louis Cauchy (1789-1857) :
Écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence, [avec] une combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien en elle-même.
Augustin Louis Cauchy, dans son livre Cours d'analyse publié en 1821
Facilitant le calcul algébrique, les nombres complexes sont également introduits dans la représentation géométrique pour en faciliter les calculs !
XVIe siècle
Premières manipulations de racines négatives
1572
Bombelli formalise des règles de calcul
XVIIe siècle
Apparition du terme « imaginaire »
XVIIIe siècle
Notation i popularisée
Comment apprendre et réviser les nombres imaginaires ?
Méthode de révision en 4 étapes
Etape n°1
Mémoriser la définition de i et le cycle des puissances
Etape n°2
S’entraîner sur les opérations simples
Etape n°3
Résoudre des équations avec racines négatives
Etape n°4
Représenter quelques nombres dans le plan complexe
Ressources pour aller plus loin
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On y trouve des rappels sur les racines carrées, le nombre i, les racines carrées d'un nombre négatif dans l'ensemble des nombres complexes, le nombre dont le carré est -52 (par exemple), les puissances de i, etc.
Youtube
En tapant simplement "nombre i" dans la barre de recherches de Youtube, on obtient de nombreuses vidéos pour comprendre ce nombre imaginaire
Puisqu'il peut paraître obscur de faire des calculs avec un nombre imaginaire, on rappellera qu'il s'agit d'un concept mathématique pour simplifier les calculs. Il existe plusieurs dizaines de vidéos relatives au nombre i, en accès libre.
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