Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.
Bertrand Russel
L'un des principes des mathématiques est de démontrer systématiquement ce qu'on pense être vrai. On affirme pas, on doit confirmer ! Le nombre Pi, représenté par la lettre grecque π, est une des constantes les plus importantes en mathématiques. Mais elle est aussi utilisée en physique et en ingénierie.
Aussi appelé constante d'Archimède, Pi exerce une fascination sans limite depuis sa découverte dans l'Antiquité.
aux Etats-Unis chaque année !
Pi est une constante universelle des mathématiques, autrement dit, il s'agit d'un nombre fixe et remarquable dont la valeur ne change sous aucune condition ! Elle s'oppose ainsi aux variables x ou y.
Pi, noté π, est une constante relativement présente en géométrie, mais également en physique, en ingénierie, en informatique ainsi que dans le cadre des probabilités.
On obtient π en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre. Relativement connue et désormais célébrée dans le monde, sa valeur approximative est 3,14.
Mystérieux, le nombre π dispose d'une riche histoire et est utilisé dans de multiples domaines !
Découvrons ensemble son histoire, ses formules et usages concrets, aussi bien en mathématiques que dans les autres branches.
- Symbole : π
- Valeur approchée : 3,14159
- Nature : irrationnel et transcendant
- Utilité principale : calculs impliquant des cercles, sphères, cylindres et ondes
Qu’est-ce que le nombre pi ?
Le rapport entre la circonférence et le diamètre
Le nombre Pi est défini comme le rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre, selon un plan euclidien. C'est probablement la définition que tout le monde connaît. Le nombre Pi se définit également comme le rapport de l'aire d'un disque au carré de son rayon. Il s'agit de l'une des constantes les plus importantes et les plus utilisées en mathématiques !
Le nombre π s'obtient donc en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre, et cela vaut pour tout type de diamètre. En effet, peu importe le cercle, π est toujours trouvé de cette manière ! On écrit alors cette formule :
Il peut sembler étrange que des cercles de taille différente donnent le même résultat, et pourtant : qu'il s'agisse d'un petit cercle ou d'une roue de grande taille, on observe le même rapport !
Quelle est la valeur de pi ?
La valeur réelle de π ne peut être rédigée ici dans son intégralité. Pourquoi ? Tout simplement parce que la partie décimale de π est constituée de chiffres infinis et ne se répétant pas selon un cycle régulier ! Cependant, de nombreuses approximations suffisent pour les exercices de maths et formulations.
Ainsi, nous avons :
3,14
Pour les calculs simples
3,1416
Pour la précision courante
22/7
Pour la fraction approchée pratique (non exacte réellement cependant)
3,1415926535
Pour le début de l'écriture décimale
Que devriez-vous préférer ? En réalité, tout dépend du contexte de l'exercice. Cependant, nous vous recommandons toujours de conserver π tel quel, puis de l'arrondir seulement une fois l'exercice terminé ! Cela évitera les approximations trop légères ainsi que les erreurs de résultat (écarts trop grands).
Les chiffres de pi : pourquoi ne s’arrêtent-ils jamais ?
Pi est un nombre irrationnel
On dit que le nombre Pi est un nombre irrationnel. Cela signifie que pi s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ainsi, un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction d'entiers, puisqu'il possède nécessairement une écriture décimale infinie et que, de plus, sa partie décimale ne présente aucune répétition régulière.
Tandis qu'un tiers (0,33333...) et deux tiers (0,6666...) ou encore les fractions basées sur 7 (1/7 : 0,142857142857… ; 2/7 : 0,285714285714 ; 3/7 : 0,428571428571…), le nombre π dispose d'une partie décimale qui présente des chiffres continuant indéfiniment après la virgule : 3,1415926535…
Il n’existe donc pas de “dernier chiffre de pi”. !
Ainsi, on ne peut pas l'exprimer comme un rapport entre deux nombres entiers. Cela veut dire qu'il est impossible d'écrire π = p/q où p et q sont des entiers.
Pi est aussi un nombre transcendant
Au-delà du fait d'être irrationnel, le nombre π est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas algébrique : il n'y a aucun polynôme (à coefficient rationnel) dont π soit la racine.
Charles Hermite (1822-1901), mathématicien français, parvient à prouver que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant. En 1882, Ferdinand von Lindermann généralise ce raisonnement, et développe le théorème d'Hermite-Lindermann. Selon ce dernier, si x est un algébrique différent de 0, alors ex est transcendant. Or :
est algébrique car il est égal à -1.
Donc :
est transcendant, sachant que i est algébrique, π est transcendant. De plus, il a été démontré que Pi n'est pas constructible. C'est une conséquence importante de la démonstration de la transcendance de π. Selon le théorème de Wantzel, tout nombre constructible est algébrique.
Donc, le fait que tous les points qu'il est possible de construire à la règle et au compas soient des nombres constructibles rend la quadrature du cercle impossible. On ne peut donc pas construire, uniquement à la règle non graduée et au compas, un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle donné.
π est irrationnel et transcendant. Il n’est donc pas algébrique.
Combien de chiffres de π connaît-on ?
À l'heure actuelle, nous connaissons énormément de décimales de pi, cependant il n'est généralement pas nécessaire d'aller au-delà de quelques chiffres dans la grande majorité des exercices au quotidien. Ainsi, 3,14 suffit largement dans la majorité des cas en tant qu'élève ou étudiant !
En revanche, les scientifiques et techniciens se servent généralement d'une dizaine de décimales, ce qui est déjà suffisant. Lorsque les ordinateurs calculent et utilisent les milliards ou même les milliers de milliards de chiffres, il faut bien préciser que ceci est avant tout dans un but de recherche et de performance informatique afin de vérifier, par exemple, des algorithmes !
En réalité, au niveau de connaissances de l'année 2013, les chercheurs et mathématiciens avaient trouvé plus de 12 mille milliards de décimales de Pi. En 2021, la Haute école des sciences appliquées des Grisons a établi un nouveau record de calcul du nombre Pi avec 62 800 milliards de décimales... En 2022, Google annonce un record de calcul de décimales de pi, avec 100 000 milliards de décimales !
À quoi sert le nombre pi ?
Le nombre Pi est utilisé depuis l'Antiquité par les mathématiciens, d'abord pour résoudre des problèmes géométriques, puis dans le calcul intégral et enfin à l'ère informatique pour calculer toujours davantage de décimales de Pi.
Calculer la circonférence et l’aire d’un cercle
Les formules de géométrie impliquant Pi concernent les cercles et les sphères.
On peut calculer la circonférence d'un cercle de rayon r et de diamètre d, mais aussi plusieurs aires :
- Aire d'un disque
- Aire d'une ellipse de demi-axes
- Aire d'une sphère
- Aire latérale d'un cylindre
- Aire latérale d'un cône
Et également des volumes :
- Volume d'une boule
- Volume d'un cylindre
- Volume d'un cône
Avec pi, on est en mesure de calculer la circonférence et l'aire d'un cercle en retenant ces formules indispensables selon le rayon r et le diamètre d :
- Circonférence avec le rayon r :
- Circonférence avec le diamètre d :
- Aire avec le rayon r :
- Aire avec le diamètre d :
Prenons à présent un exemple parlant ! Passons à la pratique : prenons un cercle avec un rayon de 5cm, soit un diamètre de 10cm, et en se rappelant donc de π = 3,1416 environ. Voici sa circonférence ainsi que son aire :
- Circonférence : C = 3,1416 x 10 (ou 2 x 3,1416 x 5) ≈ 31,416 cm
- Aire : A = 3,1416 x 5² = 25π ≈ 78,54 cm²
Calculer les volumes des solides arrondis
Le nombre Pi est aussi utilisé en mathématiques dans des formules avec :
- Des nombres complexes
- Des suites récursives
- Des suites logistiques
- Des séries
- Des intégrales
Comme quoi, le nombre Pi est omniprésent en mathématiques, et pas seulement dans les formules de mathématiques impossibles à retenir ! Mais Pi est aussi présent partout dans notre quotidien.
- Une horloge fonctionne grâce à un système d'engrenages qui tournent à l'aide de dents. La taille des dents est définie par la distance constante entre deux points calculée à l'aide du nombre Pi
- Votre système électrique fonctionne probablement en courant alternatif, d'où l'utilisation de fonctions périodiques sinusoïdales où Pi est encore impliqué
- En voiture aussi, Pi n'est jamais loin : « Le compteur dépend du nombre de tours de roues, qui dépend lui-même du périmètre de la roue, qui dépend de Pi », rappelle Jean-Paul Delahaye, mathématicien auteur de Le fascinant nombre Pi
Nous disposons des formules suivantes pour chaque solide arrondi essentiel :
Volume d'un cylindre
Ex : canette, boîte de conserve, bougie
Volume d’une sphère
Ex : ballon, roue
Volume d'un cône
Ex : entonnoir, dôme conique, cornet de glace
Pi en trigonométrie et dans les angles
π est l'une des unités naturelles de mesure des angles en géométrie, ce qui fait qu'on mesure plutôt les angles en radians et non en degrés, avec pi. Ainsi, nous avons :
1 tour complet (360 degrés)
Mesure 2π radians
1 demi-tour (180 degrés)
Vaut π radians
Un angle droit (90 degrés)
Vaut π/2 radians
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus, respectivement partie réelle et partie imaginaire, nécessitent pi pour que l'on sache où l'on se trouve actuellement sur le cercle et à quel moment le mouvement recommence.
Étant donné que le cosinus et le sinus mesurent la position d'un point se déplaçant sur un cercle de rayon 1, autrement dit un cercle trigonométrique, alors on peut savoir exactement où l'on se trouve sur le cercle !
On sait que le périmètre complet de ce cercle fait nécessairement 2π : on mesure alors la distance parcourue sur le bord du cercle plutôt que de mesurer l'angle en degrés, ce qui donne donc la mesure en radians. N'oublions pas que le x (axe horizontal) représente le cosinus (axe vertical) et le y le sinus !
Nous savons que 1 demi-tour (180 degrés) vaut π radians, et que donc il faut situer le cosinus à -1, et le sinus à 0, car le demi-tour fait atterrir le point sur la ligne centrale.
Pi dans les probabilités, les statistiques et les sciences
Les probabilités et les statistiques ne dérogent pas à la règle : Pi est partout ! Il est utilisé par exemple dans la loi normale d'espérance et d'écart type, mais aussi dans la loi de Cauchy. Des mathématiciens ont utilisé π dans des expériences de probabilité.
Les probabilités peuvent servir à obtenir une approximation de Pi, comme c'est notamment le cas de l'expérience intitulée l'aiguille de Buffon. Cette méthode présente cependant ses limites en ne permettant d'obtenir que quelques décimales de Pi !
En physique des ondes, pi est sans cesse utilisé. Pourquoi ? Parce qu'une onde est un phénomène périodique, c'est-à-dire qu'il se répète à l'identique, mais surtout, il est modélisé par le biais de cercles et de fonctions trigonométriques. Bien évidemment, qui dit cercle et fonction trigonométrique, dit... le nombre π !
En résumé, le cycle d'une onde se mesure nécessairement par le biais de pi étant donné qu'elle agit en montant et en descendant, ce qui fait que son mouvement mathématique est identique en tous points à celui d'un point qui tourne en cercle.
| Domaine | Exemple d’utilisation de pi |
|---|---|
| Géométrie | Circonférence, aire, volume |
| Architecture / ingénierie | Tuyaux, roues, réservoirs, structures circulaires |
| Physique | Ondes, rotations, oscillations |
| Statistiques | Loi normale |
| Informatique | Graphisme, simulations, calcul scientifique |
Comment calculer pi ?
Connaître des centaines et des centaines de décimales après 3,1415, apprendre l'histoire du nombre π est intéressant, mais alors, comment peut-on calculer réellement π et tendre vers sa valeur exacte ? On peut retenir plusieurs méthodes pratiques pour approcher à quelques chiffres après la virgule une approximation du nombre π.
Mesurer un cercle : l’approche la plus simple
La méthode :
Etape n°1
Mesurer le diamètre d’un objet circulaire
Etape n°2
Mesurer sa circonférence avec un ruban souple ou une ficelle
Etape n°3
Diviser la circonférence par le diamètre
Il s'agit cependant d'une approximation, dépendante de la précision des mesures que vous détiendrez !
La méthode d’Archimède et les polygones
avant Jésus-Christ, la valeur de pi en a fait, du chemin !
C'est Archimède de Syracuse, grand scientifique grec de l'Antiquité, qui découvrit le premier que la valeur de pi se trouvait entre 3,10 et 3,142. Archimède eut en effet l'idée brillante de calculer les périmètres de polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle afin de s'approcher au plus près de la valeur de pi ! Il plaça pour ceci un polygone à l'intérieur du cercle, puis un deuxième polygone à l'extérieur du cercle.
Les séries infinies et les formules modernes
Avec la méthode des séries infinies et des formules modernes, il est possible de calculer pi sans même dessiner de polygones !
Leibniz décréta une formule adaptée en alternant soustractions et additions de fractions avec comme numérateur le chiffre 4 ainsi qu'un nombre impair croissant au dénominateur.
Le principe est assez simple : on additionne et on soustrait les inverses des nombres impairs !
Cependant, il faut attendre que le calcul soit extrêmement long pour réussir à trouver des décimales de pi exactes...
Cette méthode est donc très utile pour comprendre comment fonctionne le concept, cependant, elle converge trop lentement.
La méthode de Buffon : estimer π avec le hasard
Georges-Louis Leclerc de Buffon est un mathématicien et naturaliste français du XVIIIᵉ siècle (1707-1788).
il réalise une expérience de probabilités avec des aiguilles jetées sur un parquet, lui permettant d'obtenir une approximation de la valeur de pi.
L'expérience consistait à lancer un très grand nombre de fois une aiguille sur un parquet. La probabilité que l'aiguille tombe à cheval sur au moins une rainure du parquet serait égale au nombre Pi ! Buffon comptabilise pour cela le nombre de fois où l'aiguille tombait à cheval sur une rainure du parquet, par rapport au nombre total de lancers.
Au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente, le quotient se rapproche d'un certain nombre permettant de retrouver π. Il s'agit donc bien entendu d'une estimation statistique, celle-ci ne permettant pas réellement de calculer pi directement.
D’où vient le symbole π et quelle est l’histoire du nombre pi ?
Des premières approximations à l’Antiquité
Dès l'Antiquité, les mathématiciens étaient persuadés qu'il était possible de calculer un rapport constant entre le périmètre du cercle et le diamètre de celui-ci.
Ils pensaient qu'il existait parallèlement un rapport entre l'aire du disque et le carré de son rayon. Le nombre pi intéresse les scientifiques depuis plus de 4 000 ans, en réalité !
Une des plus célèbres approximations de pi a été retrouvée dans le papyrus Rhind, publié par le scribe Ahmès (vers 1540 avant J.-C.) et découvert au sein du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Égypte. La voici :
L'aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées.
Papyrus de Rhind
Archimède, une avancée décisive
Au IIIᵉ siècle avant J.-C., le célèbre penseur Archimède (-287;-212) établit que le rapport de la surface d'un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre. Sept siècles plus tard, le Siddhanta, un document trouvé en Inde datant de l'année 380, donne une approximation de pi à 3 + 177/1250 = 3,1416.
La méthode d'Archimède avec des polygones à 192 côtés, puis 3072 côtés, sera utilisée en Chine pour trouver une approximation de pi au cent-millième, c'est-à-dire à 5 décimales.
siècle de notre ère, le savant chinois Tsu Chung Chih (430-501) parvient à trouver une approximation au millionième près, à 3,141592.
Les mathématiciens arabes, dont on connaît les avancées phénoménales pour leur époque, pousseront encore plus loin le "jeu" en calculant des approximations de pi à 14 décimales exactes. Il faudra attendre la fin du XVIᵉ siècle pour que les savants occidentaux parviennent à trouver des avancées concrètes sur ce nombre.
Le français François Viete (1540-1603) trouve une approximation à 9 décimales en 1593.
En Allemagne, un mathématicien nommé Ludolph van Ceulen (1540-1610) trouve 34 décimales exactes en usant de la méthode d'Archimède avec des polygones à 60 x 233 côtés, ce qui a dû donner des calculs colossaux.
La période moderne et la Renaissance provoquent une explosion culturelle, des progrès techniques rapides ainsi qu'une accélération sans précédent des recherches scientifiques.
C'est l'époque où de grands mathématiciens marqueront l'histoire grâce à leurs travaux : Isaac Newton (1642-1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), John Machin (1680-1751), James Stirling (1692-1770).
C'est le célèbre mathématicien Leonhard Euler (1707-1783), par ailleurs connu pour ses progrès dans la connaissance du nombre e, qui fera s'imposer définitivement le caractère spécial π pour désigner le nombre Pi ! Les formules prennent alors la forme de calculs infinis et très performants.
Pourquoi utilise-t-on la lettre grecque π ?
par l'Anglais William Oughtred (1574-1660), d'après le nom grec περίμετρος, qui signifie "périmètre".
Le nombre π renvoie à l'idée de périmètre, de périphérie, car la lettre provient du mot grec "periphereia", signifiant "périphérie" et "périmètre". Il s'agit également de la 16ᵉ lettre de l'alphabet grec. Le nombre pi fut plus tard repris par William Jones, peu de temps après, puis fut définitivement imposé par Euler en 1737, la rendant universelle cette fois !
Du calcul manuel aux supercalculateurs
Grâce à ses apports multiples, la connaissance des décimales après la virgule de pi a connu une croissance exponentielle à la fin du XXe siècle.
de décimales sont ainsi connues !
Un record a été enregistré en 2022 par Emma Haruka Iwao, une ingénieure, informaticienne et programmeuse japonaise travaillant chez Google.
Antiquité
Premières approximations
IIIe siècle av. J.-C.
Méthode d’Archimède
XVIIIe siècle
Diffusion du symbole π
XIXe siècle
Démonstrations de l’irrationalité puis de la transcendance
Époque contemporaine
Calcul informatique de décimales
Combien de chiffres de pi connaissez-vous par cœur ?
Résumer via IA :
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