Ne t'inquiète pas si tu as des difficultés en maths, je peux t'assurer que les miennes sont beaucoup plus importantes !"
Albert Einstein
des élèves de 15 ans sont en difficulté en mathématiques.
Pour maîtriser les bases des mathématiques, il faut notamment passer par la bonne compréhension du nombre e en maths, cette constante mathématique universelle qui fait peur à plus d'un rien qu'à l'annonce de son nom. Et pourtant, le nombre e est l'un des éléments majeurs de l'algèbre mathématique !
Approximativement égal à 2,71828, le nombre e est, tout comme le fameux π, un objet qui apparaît naturellement dans les énoncés mathématiques et sert de base à de multiples exercices. On le retrouve chaque fois qu'une quantité évolue de façon continue et proportionnelle, tel que, par exemple, en ce qui concerne les intérêts, les modèles financiers ou encore la croissance d'une population, son PIB...
Appelé aussi constante de Néper ou constante d’Euler, le nombre e est à la base de la formule exponentielle, autrement dit des fonctions. Il est donc important de comprendre cette partie de l’algèbre !
Le nombre e est l’occasion de comprendre les termes de nombres irrationnels et rationnels, ainsi que le fonctionnement des fractions et de leur utilisation.
On peut se demander à quoi sert le nombre, et plus particulièrement le nombre e ?
Nous allons voir à présent ce qu'est exactement sa définition, pourquoi e apparaît tout à fait naturellement dans les énoncés, son histoire propre ainsi que ses usages et formules !
Correspondant approximativement à la valeur 2,718281828459045, le nombre e est l'un des éléments essentiels pour les bases des mathématiques, étant donné qu'il apparaît dès lors qu'une quantité évolue de façon continue et proportionnelle.
Qu’est-ce que le nombre e en mathématiques ?
La valeur approximative de e
Le nombre e est égal à 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957… avec à ce jour plus de 5 000 milliards de décimales (trouvées au 29 août 2016 par Ron Watkins) ! Cependant, son écriture décimale approximative est la suivante :
Il est d'ailleurs courant d'écrire simplement : e ≈ 2,718. Pourquoi est-ce que cette approximation suffit-elle ? Pour plusieurs raisons :
Dans la grande majorité des énoncés mathématiques, on parle de "nombre e", ou plutôt de "e" simplement, sans parler des décimales
Les trois décimales de la notation approximative suffisent à donner une précision à 0,0001 près
Les exercices de mathématiques visent à évaluer votre raisonnement logique et à tester votre aptitude à aller d'un énoncé jusqu'au résultat. La précision millimétrée des décimales du nombre e n'est pas essentielle
e est un nombre irrationnel et transcendant
Le nombre e est un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre que l'on ne peut pas compter, dont le nombre de décimales qu'il contient est infini et dont ces décimales se suivent sans suite logique.
Ainsi, il s'oppose à un nombre rationnel dont le développement décimal est dit périodique, un quotient de deux nombres entiers dont l’écriture décimale peut être infinie mais dans ce cas nécessairement périodique.
On s'explique : le ratio 2/7 = 0,285714285714285714... Les chiffres après la virgule sont une suite logique et récurrente de décimales.
En revanche, e ne dispose d'aucune suite logique de décimales, ce qui fait que ses décimales s'enchaînent à l'infini, et ce sans jamais créer de motifs répétitifs.
Le nombre e est aussi transcendant selon le Français Charles Hermite : il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers.
Pourquoi parle-t-on de constante de Néper et de constante d’Euler ?
Le nombre e a fait son apparition au XVIIᵉ siècle avec le développement des logarithmes, sous l'impulsion des travaux de recherche du mathématicien écossais John Napier (1550-1617).
J. Néper présente un outil permettant de simplifier les calculs mathématiques.
Il s'agit du logarithme, que l'on retrouve dans le programme de mathématiques en classe de terminale. Au XVIIᵉ siècle, les calculatrices et les ordinateurs n'existaient pas, cependant cela ne signifie pas que la recherche mathématique était inexistante !
Il s'agit en réalité de la même personne ! Simplement, Napier était son véritable nom, tandis que Népier est sa version francisée. Le scientifique s'appelle donc bien John Napier et est écossais.
On parle donc de "constante de Néper" parce que ce dernier permit, en publiant ses précieux travaux, de poser les bases futures de la constante e, en cherchant à simplifier les calculs astronomiques complexes. Bien que la constante en tant que concept mathématique ait été développée par d'autres mathématiciens quelques décennies plus tard, c'est bel et bien le travail fondamental de Napier qui en constitue la base.
Au IIIᵉ siècle avant notre ère, Archimède avait déjà remarqué qu'il suffisait d'additionner les nombres pour effectuer des multiplications de certains nombres, grâce aux puissances (l'exposant). La méthode de Néper fut d'étendre les travaux d'Archimède en mettant au point une méthode permettant de faire des additions à la place de multiplications, des soustractions à la place de divisions, et des divisions par 2 à la place d'extractions de racines carrées !
décimales étaient nées.
Par exemple, si 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 alors log(1000) = 3 et si 10x = y alors log(y) = x. Le nombre e permet de savoir pour quelle valeur le logarithme népérien est-il égal à 1, en somme ! Si ln(x) = y alors x = exp(y), or exp(1) = e.
C'est le mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui un peu plus tardivement, s'intéressera le premier au nombre e, tirant son nom de la lettre initiale du mot "exponentiel". L. Euler démontre en 1737 l'irrationalité du nombre e sur la base d'un développement en fraction continue.
L. Euler détermine le développement de e en série au moyen de la factorisation - sachant que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, tel que : e = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/k! Plus on augmente la valeur de k, plus la valeur obtenue se rapproche de e.Il est aussi le premier à avoir donné les vingt-trois premières décimales de la lettre e.
John Napier
A construit les bases des logarithmes
Leonhard Euler
A formalisé et popularisé la notation e
La lettre e symbolise bien la constante de Euler, tandis que la lettre E, en majuscule donc, représente quant à elle la notation scientifique. Elle est alors l'opérateur d'exponentiation en base 10.
Pourquoi le nombre e existe-t-il ?
Le point de départ : les intérêts composés
On a souvent l'impression, lorsque l'on se met à réviser pour avoir son bac S que de nombreux exercices de maths sont inutiles ou du moins, que l'on ne s'en servira pas dans la vie courante.
On peut, en outre, avoir du mal à trouver quels sont les champs d'application du nombre e.
Pour le dire simplement, on emploie le nombre e chaque fois que l'on veut estimer une grandeur exponentielle :
- En informatique
- En économie : pour le phénomène de croissance exponentielle, pour le calcul des intérêts versés de façon continue
- En biologie : pour mesurer la multiplication des cellules vivant dans un organisme
- En sciences physiques
Prenons un exemple simple et divisons les étapes : imaginons que l'on effectue un placement initial de 1€ à 100% d'intérêt annuel.
Placement
On place 1€ à la banque et le taux d'intérêt est de 100% annuel
Intérêts annuels
Si les intérêts sont payés une fois à la fin de l'année, le compte a gagné 100% de 1€, soit 1€, donc 1€ + 1€ = 2€ au total
Intérêts semestriels
Si la banque verse les intérêts tous les six mois, donc deux fois par an, alors le compte se retrouve avec 50% d'intérêts à la moitié de l'année (1 + 0,50 = 1,50€) et avec de nouveau 50% d'intérêts à la fin de l'année sur le nouveau solde du compte (1,50 + 0,75 = 2,25€)
Intérêts mensuels
Si la banque verse les intérêts tous les mois, donc douze fois par an, alors le compte se retrouve avec environ 0,08 centimes par mois, ce qui fait au total environ 2,613€ à la fin de l'année
Or, que remarquons-nous alors ? Que plus les intérêts sont versés avec fréquence, plus la somme se rapproche... du nombre e ! Cependant, le gain ne tend bien entendu pas vers l'infini, car alors il finit par venir buter sur le nombre e ≈ 2,718, qui constitue alors le facteur de croissance maximale possible sur une période donnée pour un taux de 100 %.
Si les cours particuliers de mathématiques à domicile sont trop onéreux pour un élève en difficulté, on peut néanmoins suivre des cours et exercices en ligne pour apprendre les maths gratuitement.
La croissance continue et proportionnelle
Il s'agit ici d'un modèle exponentiel. Lorsqu'une quantité grandit à une vitesse proportionnelle à sa valeur actuelle, on appelle ceci une croissance continue.
Dans de tels cas, le modèle suivi est celui-ci :
Or, plus la quantité en question est élevée, et plus elle croît rapidement. C'est le cas par exemple de :
- Une population bactérienne
- Un investissement à capitalisation continue
- La propagation d'un virus
- Des phénomènes physiques...
Le rôle unique de la fonction exponentielle f'(x) = e^x
Ce qui est unique ici, c'est que la vitesse de variation est égale à sa propre valeur ! Étonnant, non ? Comprenez bien que pour n'importe quelle autre fonction, sa dérivée change nécessairement de forme. Cependant, dans le cas de la fonction exponentielle, sa dérivée est... elle-même !
Pour résumer simplement, cela revient à dire que la fonction exponentielle dispose d'une vitesse de croissance (d'augmentation) parfaitement égale à sa taille actuelle, et ce peu importe à quel moment !
Si, à un instant t, le nombre de bactéries est de 10, alors sa vitesse d'augmentation sera de 10 ! Ainsi, à un instant t, la vitesse d'augmentation est toujours égale au nombre de bactéries présentes à cet instant précis.
Selon vous, un capital de 1 € placé à 100 % avec une capitalisation de plus en plus fréquente peut-il dépasser 3 € ?
Les formules célèbres qui utilisent le nombre e
Le nombre e en mathématiques fait désormais partie de plusieurs formules exponentielles, parmi lesquelles :
- ln e = 1,
- ln ex = x,
- ex × ey = ex + y
Apprenez également à reconnaître les nombres parfaits !
La limite fondamentale : e = limite de (1 + 1/n)^n quand n tend vers l'infini
Le nombre e est la valeur plafond vers laquelle tend un placement de 1 € lorsque les intérêts composés sont calculés et réinvestis à chaque instant. e est donc le maximum atteignable en continu sur une période donnée !
La formule d’Euler : eix = cos x + i sin x
De son côté, Leonhard Euler découvrit une autre formule qui, cette fois, ne dépendait pas uniquement de l’algèbre. En effet, celle-ci relie l’algèbre du nombre e avec la trigonométrie. Ainsi il trouva la formule :
Celle-ci permit d'exprimer les nombres complexes sous la forme d'exponentielles !
L’identité d’Euler : e^(iπ) + 1 = 0
Mais parmi toutes les formules qui existent, la plus connue reste néanmoins l'identité d'Euler, que le scientifique suisse découvrit avec l’aide éclairée du mathématicien français Abraham De Moivre.
Cette formule intègre alors à la fois le nombre Pi, le nombre e mais aussi l’imaginaire i ! Pourquoi cette identité-ci est particulièrement célèbre ?
nombres font partie des identités remarquables.
L'identité d'Euler relie les cinq constantes fondamentales des mathématiques en une seule formule, à savoir : π (pi, la constante géométrique du cercle), e (la constante d'Euler), i (l'unité imaginaire), 1 (l'élément neutre de la multiplication) et 0 (l'élément neutre de l'addition).
Résumer via IA :
Vous avez aimé l'article ? Notez-le !
Loading...
