L'infini ne peut guère conduire qu'à zéro et réciproquement !
Pierre Dac (1893-1975)
Tout élève, dès l'école primaire et jusqu'à l'université, sait bien qu'avoir 0 ou une note proche de 0 est synonyme d'échec, de rater un devoir et aux cours de mathématiques, les notes proches de 0 sont monnaie courante ! Ce que l'on sait moins, c'est que le chiffre zéro possède une histoire multimillénaire.
Le chiffre zéro est très étrange, car il possède cette double nature qui fait de lui la représentation du néant, et en même temps... Il est bien là ! S'il peut sembler ne rien représenter, c'est entièrement faux car il demeure l'un des concepts mathématiques les plus essentiels de l'histoire de cette science !
Saviez-vous à ce propos qu'à la base de l'informatique, tout ne s'écrit qu'avec des zéros et des uns ?
C'est effectivement ce qui forme le système binaire de l'informatique, donc la base de toutes données traitées de nos jours par les ordinateurs.
Dans l'écriture des grands nombres (100, 1000, 10 000 et ainsi de suite...), le chiffre 0 joue un rôle fondamental, et vous l'utilisez dans votre vie quotidienne sans même vous en rendre toujours compte !
D'ailleurs, fait rare, le 0 ou zéro est à la fois un chiffre et un nombre ! Il étonne car bien qu'il représente parfois le vide, il nous serait impossible d'écrire les nombres dans notre système décimal sans lui, et de distinguer 5 de 500, de 50 000 ou encore de 5 000 000...
Possédant des propriétés uniques, le 0 ou zéro, lorsqu'il est seul, ne modifie rien à une addition, et pourtant, il annule toute multiplication ou division.
0 ou zéro représente une quantité nulle et constitue un élément essentiel de la numération décimale.
Que signifie le chiffre 0 ?
Zéro : un nombre, un chiffre et un symbole
Le 0, ou zéro, est à la fois un chiffre et un nombre entier qui représente une valeur nulle ou une absence de présence. Il se situe entre les signes, autrement dit entre les entiers positifs et les entiers négatifs. Le 0 ou zéro est à la fois un chiffre et un nombre ! En voici la cause :
Chiffre
Il figure parmi les 10 symboles permettant d'écrire des nombres (avec 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9)
Nombre
Le zéro appartient à tous les ensembles de nombres classiques, qu'ils soient entiers ou décimaux
Quelle différence entre zéro et néant ?
Le zéro ne représente pas le néant absolu. Pour cause, le zéro est un concept mathématique, là où la notion de néant est plutôt philosophique.
Le 0 mathématique permet de quantifier une quantité nulle, ou de distinguer les grands nombres entiers tels que 5, 500, 5000 etc.
Ainsi, le zéro mathématique est en réalité une absence, un repère.
Il ne représente pas réellement le néant, mais indique une valeur nulle. Il ne représente pas le « rien », car il permet notamment d'établir le seuil de limites, telles que :
- 0° est une véritable température, située entre 1° et -1°
- 0 sur 20 signifie qu'aucune bonne réponse n'a été apportée / comptabilisée sur la copie
- 0 se situe entre les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs
- ...
| Notion | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Zéro | Nombre correspondant à une quantité nulle | 0 pomme |
| Chiffre 0 | Signe servant à écrire le nombre zéro ou les dizaines, centaines, etc. | 10, 205, 1 000 |
| Néant | Concept d’absence totale ou philosophique | « Le néant » |
| Case vide | Information non renseignée, pas forcément nulle | Champ non rempli dans un formulaire |
À quoi sert le zéro dans les nombres ?
Le rôle du 0 dans le système décimal
Le chiffre 0 permet tout d'abord de comparer de manière très claire les grandeurs valeurs de nombres entiers que sont, par exemple, 5, 50, 500 ou bien 1, 10, 100 et 10 000. La valeur d'un chiffre est clairement indiquée par le zéro lorsque les nombres en question terminent par 0 : ainsi, chaque chiffre a une position, et le 0 aide à concevoir cette position :
- 0 (unités)
- 10 (dizaines)
- 100 (centaines)
- 1000 (milliers)...
Aussi, le 0 affiche un ordre de grandeur en décimal, après la virgule : en effet, 10,08€ (10€ et 8 centimes) est plus élevé que 10,008€ (10€ et 0,8 centimes), mais moins élevé que 10,80€ (10€ et 80 centimes) !
Ainsi, le nombre 505 est totalement différent du nombre 55 ! La présence du 0 fait donc comprendre qu'il s'agit, dans le premier cas, d'un rang de centaines, et dans le deuxième cas, d'un rang de dizaines.
De la même manière :
101 n’est pas 11
1 005 n’est pas 15
10,05 n’est pas 1,5
Pourquoi le système romain était moins pratique pour calculer
Les Grecs de l'Antiquité considéraient que ce qui existe est "un", mais n'avaient pas la faculté d'abstraction nécessaire pour être capables d'écrire ce qui n'est pas, ce qui est inexistant.
Pour le mathématicien Aristote, par exemple, le vide et l'infini n'existaient pas.
La notation des grands nombres est alors relativement compliquée car il est impossible de signifier les dizaines, les vingtaines, les centaines et autres, sans 0.
Ainsi, pour dire 205, par exemple, les Romains sont forcés de miser sur l'addition de chaque symbole, autrement dit d'écrire CCV (techniquement : 100 + 100 + 5).
Sans zéro
Exemples : CCV pour 205 (100 + 100 + 5), CDL pour 450 (le C placé avant le D signifie 500 - 100, et le L signifie 50)
Les Romains ne disposaient pas de l'équivalent de "400". Au final, cela obligeait le cerveau à réaliser une gymnastique mentale intense en additionnant et soustrayant sans cesse !
Avec zéro
Exemples : 5 / 50 / 500 / 5 000
Nous avons ici un ordre de grandeur, chaque nombre a une position bien définie (ordre croissant ici)
D’où vient le zéro ? Une invention décisive dans l’histoire des mathématiques
Les premiers signes d’une position vide en Mésopotamie
L'histoire des mathématiques est émaillée de blocages et de découvertes successives selon l'importance de telle ou telle religion ou selon que les savants inventent des outils plus performants pour progresser en arithmétique, en algèbre ou pour élaborer un théorème.
En Mésopotamie, on remarque qu'aucune notation ne venait indiquer ce qui est aujourd'hui le « zéro ». Mais alors, comment faire la différence entre 304 et 34, par exemple ? Auparavant, les populations laissaient tout simplement... un vide !
L’Inde : le zéro devient un nombre
siècle qu'apparaît le zéro comme nombre à part entière.
Les hindous, qui représentaient le cosmos comme un univers s'étendant vers l'infini, mettent en forme les premiers ce qui ressemble à notre zéro moderne, appelé sunya, signifiant "vide" en sanskrit. Brahmagupta, en 628, publie Brahma Sphuta Siddhanta, un traité d'astronomie qui définit le zéro comme la soustraction d'un nombre par lui-même (x - x = 0).
Les Indiens hindous sont ainsi à l'origine de la première équation à résultat nul ! Attention car à l'époque, le chiffre 0 avait la forme d'un petit point, et non la forme qu'on lui connaît aujourd'hui.
Peu à peu, les mathématiciens précisent les propriétés mathématiques du nombre zéro en tentant de l'additionner, d'en faire la soustraction, essayant de le multiplier et de le diviser, parfois en vain. C'est qu'en mathématiques, on ne peut diviser un nombre par zéro : cela dépasse le raisonnement mathématique, et est considéré comme une erreur par toutes les calculatrices.
En revanche, diviser un nombre 1 par une valeur infiniment proche de zéro, par exemple 0,01, donne 100. Ainsi, diviser 1 par 0,0000001 donne 10 000 000 ! Par conséquent, les hindous découvraient que plus on divise un nombre par une valeur approchée de 0, plus on s'éloigne de ce nombre.
Ceci permet de mettre en lumière le fait que le zéro est intimement lié à l'infini, d'où la propriété que 1/x équivaut à l'infini ! Mais ce n'est pas tout : en tentant de résoudre la fraction 1/0 et en explorant l'infini, on admit également l'existence des décimales.
La transmission vers le monde arabe puis l’Europe
siècle, le zéro est emprunté aux Hindous comme représentation du vide et de l'infini.
Dans les pays arabes, on évoque le zéro par le mot arabe "sifr", une étymologie qui dérivera par ailleurs en "chiffre" dans la langue française.
Le chiffre 0 fait son apparition au XIIᵉ siècle en Europe - la langue arabe, parlée en Espagne musulmane étant proche -, par héritages successifs des mathématiciens arabes.
Mais l'Église catholique romaine est rétive, méfiante et défiante, peinant à admettre qu'il y ait une écriture possible pour décrire l'absence, le nul, le vide et l'infini.
Le mot arabe "sifr", importé par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci (1175-1250), passe dans tous les pays d'Europe, et est traduit en latin "zephirum", devient progressivement "zephiro", "zeuero", "cero" (espagnol) et enfin, "zero" (italien) et "zéro" en français.
Le système des nombres décimaux enrichit les calculs, et facilite également le commerce international : ainsi les marchands contribuent à imposer le zéro dans la numération, cependant même que les dirigeants chrétiens interdisaient l'usage du 0, représentant le néant, l'incarnation du Diable.
L. Fibonacci, qui avait parcouru l'Afrique, le Moyen-Orient, la Grèce et l'Égypte, publie le Liber Abaci, un ouvrage d'arithmétique.
Celui-ci compile alors toutes les connaissances mathématiques connues dans le monde de l'époque !
Le zéro, base des sciences et du numérique modernes
Essentiel à l'informatique car représentant la base absolue du système binaire de l'informatique, le chiffre/nombre 0.
En réalité, sans le 0, les mathématiques modernes que nous connaissons n'existeraient pas ainsi, et ne fonctionneraient pas !
Les chiffres romains étaient utiles pour nommer une date, cependant, pour faire des calculs scientifiques, ils montraient très clairement leurs limites !
De même pour les coordonnées, qui utilisent systématiquement le chiffre 0. Toutes les technologies actuelles sont basées sur le chiffre 0, sur les décimales, les équations et, donc, l'algèbre. Revenons sur ces dates essentielles :
Antiquité mésopotamienne
Marqueurs de position
Premières solutions pour indiquer une place vide dans certains systèmes numériques
Ve–VIIe siècles
Formalisation en Inde
Le zéro est progressivement traité comme un nombre dans les calculs
Moyen Âge
Diffusion dans le monde arabe
Développement et transmission des chiffres indo-arabes
À partir du Moyen Âge européen
Adoption progressive en Europe
Les calculs commerciaux et scientifiques deviennent plus efficaces
Époque contemporaine
Informatique
Le zéro devient essentiel au système binaire et au traitement de l’information
Les principales propriétés mathématiques du zéro
Enfin, puisque l'on parle du zéro en maths, pourquoi ne pas réviser quelques propriétés mathématiques de ce chiffre pas si évident qu'il n'y paraît ?
Ajouter ou soustraire zéro
Lorsque l'on ajoute un zéro dans une soustraction ou bien au sein d'une addition, rien ne change au résultat final. En effet :
a + 0 = a
a - 0 = a
Ainsi :
- 30 + 0 = 30
- 1 + 0 + 0 = 1
- 8 – 0 = 8
- -23 – 0 = -12
Enlever, ou soustraire 0, signifie ne rien enlever au chiffre ou nombre de départ. De même, en ajoutant 0, on n'ajoute rien ! Le chiffre 0 est neutre.
Multiplier par zéro
Lorsque l'on multiplie un chiffre ou un nombre par zéro, le résultat tombe inévitablement sur 0. Pourquoi cela ?
Parce qu'il n'y a aucun chiffre de base : 0 n'apporte rien, et multiplier autant de fois que l'on veut 0 donne nécessairement 0 puisque 0 représente l'absence de quantité. Ainsi, on a :
a x 0 = 0
Ainsi :
- 14 x 0 = 0
- 0 x 5 251 = 0
Diviser zéro par un nombre non nul
Lorsque l'on divise 0 par un nombre non nul, autrement dit pas par 0 lui-même, le résultat est également 0 étant donné que diviser 0 revient à ne rien partager ! Il représente par définition l'absence de quantité :
0 ÷ a = 0
Ainsi, on a :
- 0 ÷ 7 = 0
- 0 ÷ 506 = 0
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
Il est totalement impossible de diviser n'importe quel nombre par zéro. En réalité, la raison est tout à fait logique : une division cherche le nombre qui, multiplié par le diviseur, donnera de nouveau le dividende associé. Or, aucun nombre ne peut donner 1 lorsqu'il est multiplié par zéro !
C'est la raison pour laquelle 1 ÷ 0, ou encore 56 ÷ 0, sont indéfinis, de même que tout calcul au sein duquel un nombre est divisé par 0.
Il s'agit d'une forme indéterminée, car plusieurs résultats pourraient être possibles, mais tout dépend du contexte mathématique qui entoure ce calcul... En toute logique, les solutions sont infinies, car concrètement, lorsqu'on cherche x × 0 = 0, n'importe quel nombre peut remplacer x !
Le zéro et les nombres positifs ou négatifs
Le chiffre ou nombre 0 n'est en réalité ni négatif ni positif : il est neutre et se situe plus précisément à l'intersection entre les nombres négatifs et les nombres positifs. On peut par exemple observer ce phénomène sur une droite graduée ou bien encore sur un mètre, ou sur un thermomètre.
| Opération | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | a + 0 = a | 12 + 0 = 12 |
| Soustraction | a − 0 = a | 12 − 0 = 12 |
| Multiplication | a × 0 = 0 | 12 × 0 = 0 |
| Division | 0 ÷ a = 0 si a ≠ 0 | 0 ÷ 12 = 0 |
| Division par zéro | Impossible / indéfinie | 12 ÷ 0 est impossible |
Multiplier par zéro donne toujours zéro. En revanche, diviser par zéro n’est pas autorisé !
Le zéro dans la vie quotidienne
Zéro dans les mesures et les températures
Le chiffre 0 est partout dans notre quotidien, sans surprise, même dans les inégalités scolaires puisque les statistiques font grandement appel au zéro !
Nous l'utilisons spécialement en hiver lorsque nous craignons que des températures extrêmes ne surviennent, se situant en dessous de 0°C.
Aussi, nous l'utilisons régulièrement pour parler de mesures, et notamment de poids (0 gramme, 0 kilo, 50 kilos, 200 grammes pour les recettes de pâtisserie, par exemple...).
Lorsque notre compte bancaire se situe malheureusement près du rouge, le solde est alors à 0 euro ! Pour parler du nombre de kilomètres parcourus, nous employons également le chiffre 0.
Si, au sein des calculs, le 0 signifie bel et bien l'absence de quantité, ce qui fait qu'au sein d'une addition ou d'une soustraction, le résultat ne change pas, le 0 ne signifie pas l'absence dans tous les cas de la vie quotidienne.
En effet, une température située à 0°C ne signifie absolument pas qu'il y a une absence de température... 0°C est bel et bien un degré de température, se situant entre la température positive et négative !
Le 0 en informatique
En informatique, le système binaire est essentiellement basé sur les 0 et les 1 ! Que signifient ces deux signaux ? Le « zéro » signifie « absence de courant », tandis que le « un » signifie au contraire « courant ». Le zéro indique également un état inactif, ou quelque chose qui se trouve être éteint à un instant t.
Toutes les données, que ce soit des images, des textes ou encore des vidéos, sont traitées selon le système binaire 0 et 1 ! Le 1 et le 0 sont alors les représentations des charges électriques qui ont des effets à travers de minuscules circuits.
Vous souhaitez progresser en maths ? Votre enfant ne parvient pas à réaliser les opérations simples avec 0 ? Il existe une quantité pléthorique de moyens pour apprendre les mathématiques : par les cours et exercices en ligne, les cours particuliers à domicile avec nos professeurs de maths sur Superprof ou bien les vidéos Youtube. On peut tout à fait apprendre à jongler avec le zéro de façon ludique et améliorer les résultats scolaires de son enfant rapidement !
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