Les nombres sont le plus haut degré de la connaissance. C'est la connaissance elle-même.
Platon
π, e et i apparaissent dans des domaines fondamentaux des mathématiques. Pi est essentiel pour décrire les cercles et les phénomènes périodiques ; e intervient dans la croissance continue et les logarithmes naturels ; i permet de travailler avec les nombres complexes et de résoudre certaines équations impossibles dans les nombres réels. Ces trois constantes sont notamment liées par l’identité d’Euler : e^(iπ) + 1 = 0.
Pourquoi nous disons-vous tout cela ? Parce que π, e et i ont un point commun : tous trois appartiennent à ce que l'on appelle les nombres remarquables. Un nombre est dit "remarquable" lorsqu'il possède une propriété mathématique particulière et inhabituelle, ou bien lorsqu'il dispose d'un historique particulièrement important, ou encore lorsqu'il sert d'outil majeur au sein d'applications en sciences, en géométrie, en probabilités ou encore en informatique.
Les exemples les plus célèbres sont : le nombre zéro, le nombre 1, les nombres premiers, les nombres parfaits, π, e, le nombre d’or φ et l’unité imaginaire i
Les plus célèbres sont :
- 0
- 1
- π
- e
- φ
- i
- les nombres premiers
- les nombres parfaits
- les nombres amicaux
Qu’est-ce qu’un nombre remarquable ?
Un nombre remarquable n'est pas une catégorie unique à laquelle il faut obligatoirement associer une règle. En réalité, la catégorie des nombres remarquables est très vaste ! Elle regroupe des familles de nombres et des nombres disposant de propriétés notables et inhabituelles qu'il convient de souligner, telles que :
- Une propriété arithmétique rare
- Un lien fort avec la géométrie
- Un rôle historique
- Des applications scientifiques, informatiques ou dans le domaine des probabilités
Ainsi, parmi les nombres remarquables, on trouve par exemple une famille de nombres appelés les nombres premiers, ou encore les nombres parfaits, et au sein de ces familles, on retrouve des éléments communs qui obéissent aux mêmes règles, en quelque sorte.
Ceci étant dit, on trouve également parmi les nombres remarquables des nombres particuliers qui n'appartiennent à aucune réelle famille, tels que le nombre e, i ou encore le zéro.
Constantes
e (base du logarithme)
π (pi)
φ (nombre d'or)
Entiers
0 (zéro)
1 (un)
Nombres parfaits (6, 28...)
Nombres premiers (2, 3, 5...)
Nombres complexes
i (unité imaginaire)
Suites
Suite de Fibonacci
Nombres de Mersenne
Liste des nombres remarquables à connaître
Tableau récapitulatif des principaux nombres remarquables
| Nombre / famille | Écriture | Propriété remarquable | Exemple d’usage |
|---|---|---|---|
| Zéro | 0 | Élément neutre de l’addition | Calcul, coordonnées |
| Un | 1 | Élément neutre de la multiplication | Puissances, identités |
| Pi | π ≈ 3,14159 | Rapport circonférence/diamètre | Géométrie, trigonométrie |
| Nombre d’Euler | e ≈ 2,71828 | Base des logarithmes naturels | Croissance, probabilités |
| Nombre d’or | φ ≈ 1,61803 | Proportion particulière | Géométrie, suites |
| Unité imaginaire | i | Vérifie i² = −1 | Nombres complexes, ingénierie |
| Nombres premiers | 2, 3, 5, 7… | Deux diviseurs positifs | Cryptographie |
| Nombres parfaits | 6, 28, 496… | Égaux à la somme de leurs diviseurs propres | Théorie des nombres |
| Nombres amicaux | 220 et 284 | Sommes de diviseurs liées | Arithmétique |
| Nombres de Fibonacci | 0, 1, 1, 2, 3… | Chaque terme est la somme des deux précédents | Modélisation, algorithmes |
Les constantes mathématiques remarquables
Le zéro (0), le nombre qui structure le calcul
Parmi les nombres entiers ayant posé problème au cours de l'histoire des mathématiques, on trouve le chiffre zéro... De nos jours, il nous semble logique d'envisager des nombres entiers négatifs, notamment lorsque l'on surveille les prévisions météorologiques en hiver : ce sont les nombres entiers relatifs !
Pourtant, l'histoire du chiffre zéro fut longue et trouve son lot de blocages selon les cultures et les époques.
siècle !
Pour la science antique - Pythagoriciens et autres mathématiciens célèbres Grecs (Thalès, Euclide, Archimède, etc.), ce qui existe n'est qu'un et l'on ne peut décrire ce qui n'existe pas. L'histoire du zéro s'invite en Europe par l'Italien L. Fibonacci, qui publie Liber Abaci, un ouvrage d’arithmétique référençant les connaissances mathématiques de l'époque, y compris celles du monde arabo-musulman.
À la fois positif et négatif, le zéro est neutre et est le seul nombre entier qui fait revenir le résultat à une quantité nulle lorsqu'il est multiplié par n'importe quelle autre valeur !
Le 0 n'est pas, contrairement à ce que l'on peut entendre autour de soi, la représentation du néant, le vide.
En réalité, en mathématiques en tout cas, le chiffre 0 est l'absence de présence, l'absence de quantité.
Le 0 est l'élément neutre séparant les nombres positifs des nombres négatifs, et de plus, il est l'élément neutre de l'addition ainsi que de la soustraction.
En effet, a + 0 = a, tout comme a - 0 = a. Le chiffre zéro est le point de repère au sein des coordonnées ainsi qu'au sein des nombres relatifs !
Contrairement à ce qu'il pourrait sembler, 0 n'est pas négatif, tout comme il n'est pas positif non plus : il est tout simplement neutre.
0 n'est d'ailleurs ni un nombre premier, ni un nombre composé. Il est, en cela, identique au chiffre 1, qui partage ces deux caractéristiques ! Pourquoi n'est-il pas un nombre premier ? Parce que tous les nombres sont ses diviseurs. Pourquoi n'est-il pas un nombre composé ? Parce qu'un nombre composé est nécessairement un nombre entier naturel strictement supérieur à 1...
0 dispose en effet d'un nombre infini de diviseurs !
Le nombre un (1), identité multiplicative
Ni nombre premier ni nombre composé, le chiffre 1 fait donc intégralement partie des nombres remarquables. Pourquoi n'est-il pas un nombre premier ? Parce qu'il ne dispose que d'un seul diviseur, à savoir lui-même ! Et que pour être un nombre premier, il faut nécessairement disposer de deux diviseurs.
Aussi, pourquoi le chiffre 1 n'est-il pas un nombre composé ? Parce qu'un nombre premier doit nécessairement se décomposer en un produit d'au moins deux facteurs premiers, et de plus, il doit être supérieur à 1. La particularité de 1 est qu'il donne le même résultat que le nombre de départ en étant multiplié par celui-ci. Exemple : 48 x 1 = 48, donc :
1 x a = a
Le nombre 1 dispose d'un rôle fondamental dans les puissances, car tout nombre élevé à la puissance 1 est en réalité égal à lui-même. Lorsque c'est le nombre 1 qui est élevé à une puissance, le résultat obtenu est toujours 1 !
Ainsi : 1¹⁵⁰⁰ = 1
Le nombre 1 est également très utile au sein des fractions, soit en transformant les entiers en fractions, soit en représentant l'unité entière. Il est de même essentiel au sein des exponentielles ainsi que des identités remarquables.
Pi (π), la constante des cercles
π est défini comme le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Il est utilisé pour calculer le périmètre et l'aire d'un cercle. On obtient π en divisant la circonférence d'un cercle par son diamètre, et cela donne :
Grâce à π, il est possible de calculer l'aire et la circonférence d'un cercle, de cette manière :
- Circonférence avec le rayon r :
- Circonférence avec le diamètre d :
- Aire avec le rayon r :
- Aire avec le diamètre d :
Il est environ égal à 3,1416, mais en réalité, les chercheurs estiment qu'il existe plus de 12 mille milliards de décimales... Pi demeure un mystère pour les scientifiques et fait toujours l'objet de nombreuses recherches ! C'est un nombre irrationnel et transcendant (non algébrique).
Il est principalement utilisé en géométrie mais sert aussi dans les probabilités, les statistiques et d'autres aspects des mathématiques. S'il ne sert à rien de mémoriser le nombre Pi, cela fait l'objet de multiples records ! N'oublions pas que π est un nombre irrationnel, autrement dit, que son écriture décimale est infinie et non périodique.
Le nombre d’Euler (e), la constante de la croissance continue
On l'appelle "constante de Néper" : le nombre e sert de base au calcul logarithmique et est un nombre irrationnel qui s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique.
Ainsi, par opposition aux nombres rationnels, dont le développement décimal est dit périodique, le nombre e comporte une infinité de décimales qui n'ont aucun ordre logique.
Le ratio 2/7, par exemple, est égal à 0,285714285714285714…
Parmi toutes les décimales après la virgule, la démonstration montre la suite récurrente 285714 reproduite à l'infini.
De nos jours, on sait que e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957… et qu'il y a plus de 8 000 milliards de décimales possibles !
Cependant, son écriture décimale approximative est la suivante :
L'histoire du nombre e retrace 400 ans d'histoire des maths ! Le mathématicien Jacques Bernoulli (1654-1705) découvre que les intérêts calculés à l'année sont plus faibles que s'ils sont estimés mensuellement, et qu'ils sont encore plus conséquents lorsqu'ils sont calculés de façon quotidienne : par une démonstration mercantile, il découvrait le nombre e.
Plus tard, c'est le Suisse Leonhard Euler (1707-1783) qui théorisa le nombre e, comme expression de la fonction exponentielle, en ayant recours au développement par fraction continue.
Le nombre e permet de déterminer pour quelle valeur le logarithme népérien - noté ln (x) - est égal à 1. Aujourd'hui, on peut rencontrer le nombre e dans un problème mathématique, dans la recherche d'un polynôme, dans les équations différentielles, dans le calcul d'aires des figures géométriques...
L'informatique et l'intelligence artificielle, par volonté de dépasser les limites de la réalité augmentée, se sont emparées de la constante e, notamment pour créer des algorithmes dont la puissance de calcul, croissante, dépasse les capacités de réflexion humaines !
À partir du moment où l'on considère que e sert à estimer une grandeur exponentielle, on va retrouver cette constante en démographie et en économie (pour estimer la croissance exponentielle d'une population, pour le phénomène de croissance exponentielle, pour le calcul des intérêts versés de façon continue...), en biologie (pour mesurer la multiplication des cellules vivant dans un organisme...), en physique et en informatique.
Pourquoi le nombre e apparaît-il dans la croissance continue ?
Le nombre e apparaît naturellement dans la croissance continue car il représente en réalité la limite d'une croissance proportionnelle : au sein d'une croissance continue et proportionnelle, la vitesse à laquelle augmente une quantité est proportionnelle à la valeur qu'elle a actuellement.
Il faut donc pour ceci trouver une fonction dont la dérivée (à savoir, la vitesse de variation) est égale à elle-même.
Or, la seule qui remplisse ce rôle est la suivante :
Le nombre d’or (φ), une proportion remarquable
Aussi appelé section dorée, divine proportion ou proportion dorée, le nombre d'or, désigné par la lettre grecque φ, est défini comme le seul rapport a/b entre deux longueurs a et b. Comme pi, il s'agit d'un nombre irrationnel qui correspond à l'unique solution de l’équation :
Son origine remonterait aux pyramides de Khéops et aurait d'abord été utilisé en géométrie. Le premier texte évoquant le nombre d'or a cependant été rédigé par Euclide en -300, mais c'est Platon qui semble y avoir consacré une étude à part entière. φ est égal à (1 + √5) / 2.
En réalité, φ représente le phénomène lors duquel le rapport du tout à la grande partie est égal au rapport de la grande partie à la petite partie.
Qu'est-ce que cela signifie, concrètement ? Imaginons un segment de longueur totale a + b, où a représente la grande partie du segment et b la petite partie du segment. Lorsque la division de a + b donne le même résultat que la division de a sur b, autrement dit environ 1,618, alors nous avons affaire au nombre d'or, et donc à une proportion dorée !
Exemple : un segment de longueur totale de 21cm, avec a représentant 13cm et b 8cm, alors nous avons :
Et :
Nous voyons bien que le rapport du tout à la grande partie est identique au rapport de la grande partie à la petite !
Plus tard, il sera mis en relation avec la suite de Fibonacci et sera synonyme de beauté au XXᵉ siècle. Il est utilisé en géométrie et en arithmétique, notamment, mais est observable à quelques occasions autour de nous dans la nature, d'où sa mise en relation avec la beauté et la perfection.
Nous retrouvons le nombre d'or dans plusieurs objets géométriques, notamment :
- La spirale d'or
- Le rectangle d'or
- Le pentagone régulier
L’unité imaginaire i et les nombres complexes
Voici un autre théorème mathématique intéressant à explorer : le nombre imaginaire i. Si on sait qu'en maths, le carré de tout nombre relatif est positif (par exemple, -4² = 16), on sait que la racine carrée de x est le nombre qui, élevé au carré, est égal à x (la racine carrée de 16 donne 4). Pourtant, on ne peut pas extraire une racine carrée de nombres négatifs, puisque le carré d'un nombre, quel que soit son signe, produit un résultat positif.
Pour pallier ce grand problème mathématique, dont l'histoire est multiséculaire, un nombre imaginaire pur a été inventé. Le nombre noté i permet dès lors d'envisager l'extraction de la racine carrée d'un nombre réel : ici, la racine de -4 = 2i. D'après la règle des signes, le produit de deux nombres négatifs est positif. Or, le carré de -1 est positif puisque -1² = (-1) x (-1) = 1.
Elle est définie ainsi :
La racine carrée de -1 serait un nombre qui, élevé au carré, serait égal à -1. Les savants mathématiciens ont fait preuve d'imagination : ils ont noté i la racine carrée du chiffre -1. De cette manière, i est le nombre dont le carré est -1, et sa notation algébrique est i² = -1 !
pour qualifier les nombres supposés impossibles ou imaginaires.
Les mathématiciens C. F. Gauss (1777-1855) et Augustin Louis Cauchy (1789-1857) approfondiront les travaux autour des nombres imaginaires purs, permettant de les incorporer parmi les nombres réels dans les calculs. Puisque le nombre i permet de résoudre des équations qui n’ont pas de solution dans un ensemble réel, celui-ci étend largement le champ des possibles en maths !
Le principe est que tout nombre peut s'écrire sous la forme a + 𝑖 b, où a et b sont des nombres réels, négatifs ou positifs. La racine carrée de -4 est donc égale à 2𝑖 ! Tout nombre de la forme b 𝑖, où b est différent de 0, est un imaginaire pur.
Le nombre i a permis de progresser dans la recherche physique et en électricité, notamment pour le développement du circuit imprimé pour ordinateurs lors de la révolution informatique.
En maths, l'invention de i a permis de résoudre des équations jusqu'ici sans solution.
Ainsi, avec les nombres imaginaires, l'équation x + 8 = 1 trouve sa solution !
Les nombres complexes, reprenant l'unité imaginaire i, permettent de décrire le comportement des circuits électroniques.
Les ingénieurs les utilisent également lorsqu'ils ont à faire des calculs de formes d'ondes (en acoustique ou en électronique) ou de flux (aérodynamique, hydrodynamique).
Les nombres entiers remarquables
Les nombres premiers
Un nombre premier, c'est un entier naturel strictement supérieur à 1 admettant seulement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Ainsi, 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers. Le théorème d'Euclide a démontré qu'il en existe une infinité. Il est donc impossible de tous les connaître !
Pour vous aider, voici la liste des 25 nombres premiers entre 0 et 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Il est possible d'en trouver davantage grâce à la technique des essais par division et du crible d'Ératosthène. En revanche, 4 et 6, par exemple, ne sont pas des nombres premiers car 4 est à la fois divisible par 1, par 2 et par lui-même, tout comme 6 est à la fois divisible par 1, par 2, par 3 et par lui-même.
Le nombre 2 est le seul nombre premier pair, car nécessairement, tous les autres nombres pairs disposent d'a minima trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes ! Les nombres premiers sont très précieux lorsqu'il s'agit de décomposer les nombres en facteurs premiers.
D'autres techniques existent d'ailleurs pour connaître les nombres premiers. Par ailleurs, il existe des nombres premiers particuliers : les nombres premiers jumeaux, les nombres premiers de Pythagore, les nombres premiers de Mersenne et les nombres premiers de Fermat.
Les nombres parfaits
Un nombre parfait est un nombre naturel tel que la somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même. Qu'est-ce qu'un diviseur propre ? Il s'agit d'un diviseur autre que le nombre lui-même.
Ainsi, pour 6, dont les diviseurs totaux sont : 1, 2, 3 et 6, ses diviseurs propres sont 1, 2 et 3.
6 est d'ailleurs le tout premier nombre parfait, et le seul en dessous de 20 d'ailleurs : 6 = 1 + 2 + 3. Le suivant est 28 : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Ils sont fortement liés aux nombres premiers de Mersenne. Ce dernier a défini les nombres premiers de cette forme :
où p est un entier naturel premier. Plusieurs théorèmes ont permis de les mettre à jour, dont celui d'Euclide et celui de Fermat. Les nombres parfaits sont assez rares...
aujourd'hui !
Ceux qu'on connaît sont tous pairs et il n'y en a que trois entre 0 et 1000 : 6, 26 et 496. Les scientifiques sont incapables de dire s'il existe des nombres parfaits impairs. En revanche, il existe aussi des nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits !
Les nombres amicaux
Les nombres amicaux sont une paire de deux entiers distincts dont chacun est égal à la somme des diviseurs propres de l'autre. Le couple de nombres amicaux le plus connu et le plus petit (donc, plus facile à retenir) est : 220 et 284. Vérifions ensemble ceci :
220 → 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 = 284
284 → 1, 2, 4, 71, 142 = 220
Les nombres de Fibonacci
En algèbre, le nombre d'or est défini comme l'unique racine positive d'une équation. La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers où chaque nombre est la somme des deux nombres précédents ! Ainsi, nous avons : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Mais le plus fascinant est que plus l'on a affaire à de grands nombres dans la suite, et plus le quotient des deux termes successifs se rapproche progressivement de la valeur du nombre d'or, à savoir le fameux 1,618 ! Ainsi, nous avons exactement :
2 ÷ 1
2
3 ÷ 2
1,5
5 ÷ 3
1,666...
8 ÷ 5
1,6
13 ÷ 8
1,625
21 ÷ 13
1,615...
34 ÷ 21
1,619
Les applications de la suite de Fibonacci sont nombreuses et variées : algorithmes de cartographie, certains systèmes de codage et de données, utilisation d'un ratio de Fibonacci dans les algorithmes de recherche, ratio d'or en photographie et dans l'architecture ou encore le design...
Comment retenir les principaux nombres remarquables ?
Il peut parfois sembler très difficile de retenir l'ensemble de ces définitions et de se rappeler l'utilité propre de chaque catégorie de nombres, étant donné que les mathématiques demeurent une discipline très abstraite. Nous voulons vous aider à vous rappeler de l'utilité et de la particularité de chaque nombre ou famille de nombres remarquables, via ce petit rappel :
0 (zéro)
Point de départ et neutralité additive
a + 0 = a ; a - 0 = a ; a x 0 = 0. Zéro est la limite entre nombres positifs et nombres négatifs
1 (un)
Identité multiplicative
a x 1 = a, a + 1 = a ; a - 1 = a ; a ; a ÷ 1 = a. 1 est le pilier des puissances → 1^n = 1
π
Courbes
Environ 3,14159. Rapport constant entre la circonférence d'un cercle et son diamètre
e
Croissance continue
Environ 2,718. Base du logarithme naturel
φ
Proportions et Fibonacci
Environ 1,618. Proportion entre le tout, la grande partie et la petite partie
i
Racine de −1
Unité imaginaire telle que i^2 = -1
Nombres premiers
2 diviseurs : 1 et le nombre lui-même
Exemple : 2 et 11 ne disposent que de 2 diviseurs (2 : 1, 2 ; 11 : 1, 11)
Nombres parfaits
Somme des diviseurs propres égale au nombre lui-même
Exemple : 6 = 1 + 2 + 3 (ses trois diviseurs propres)
Résumer via IA :
Vous avez aimé l'article ? Notez-le !
Loading...
