Name: Tout Savoir sur le Nombre d&rsquo;Or en Maths !
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Chapitres

01. L'histoire du nombre d'or
02. Le nombre d'or en géométrie
03. Le nombre d'or en arithmétique
04. L'omniprésence du nombre d'or

"Tout nombre illuminé possède son ombre d'or." Nabil Alami

Le nombre d'or, aussi appelé section dorée, proportion dorée ou divine proportion est une proportion définit comme le seul rapport $a / b$ entre deux longueurs $a$ et $b.$ Le rapport de la somme $a + b$ des deux longueurs sur la plus grande ( $a$ ) est égal à celui de la plus grande ( $a$ ) sur la plus petite ( $b$ ) : ( $a + b)/a = a/b.$ Il est aussi désigné par la lettre grecque φ (phi). C'est un nombre irrationnel, unique solution de l'équation x² = x + 1. Il vaut environ 1,61803398875. Un million d'élèves prennent des cours particuliers chaque année, dont une grande partie en mathématiques. Souvent vu comme difficiles, les mathématiques peuvent être ludiques et recèlent de mystères fascinants. Attaquons-nous à la proportion dorée.

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L'histoire du nombre d'or

D'où vient le nombre d'or ? — La construction des pyramides implique l'utilisation de la section dorée.

Les origines du nombre d'or

La pyramide de Khéops (2600 avant JC) est pour nombre de scientifiques l'origine du nombre d'or. Le nombre d'or est très ancien et était utilisé dans un premier temps en géométrie, vraisemblablement par les pythagoriciens. Ils s'en servaient pour construire des pentagones à l'aide de triangles isocèles. A cette époque, il n'est pas utilisé de manière arithmétique puisque les pythagoriciens pensent que tout nombre est rationnel, or la proportion dorée ne l'est pas. Mais le premier texte mathématique évoquant réellement le nombre d'or a été rédigé par Euclide (300 avant JC). Il le définit comme suit : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit. » Cependant Platon est sans doute à l'origine de l'étude du nombre d'or comme objet d'étude à part entière. A cette époque, ce nombre n'est pas appelé nombre d'or.

Le nombre d'or à travers le Moyen Âge

Le mathématicien Al-Khawarizmi apporte un nouveau regard sur la section dorée au VIIIème siècle en proposant plusieurs problèmes qui consistent à diviser une longueur de dix unités en deux parties. La solution de l'un d'eux est la taille initiale divisée par le nombre d'or. Mais c'est Fibonacci qui parle des équations du mathématicien perse en Europe, notamment à travers sa célèbre suite de Fibonacci, sans pour autant y voir un lien avec le nombre d'or. L'irrationalité du nombre d'or est démontré par Campanus à travers la descente infinie qu'on peut voir dans la spirale d'or.

Le nombre d'or durant la Renaissance

A la Renaissance, le nombre d'or est appelé divine proportion et relève d'une intervention divine selon le livre de Pacioli, illustré par le célèbre Léonard de Vinci. C'est aussi à cette époque que la suite de Fibonacci est mise en relation avec le nombre d'or. En divisant un terme de la suite par son terme précédent, le résultat se rapproche du nombre d'or. L'approximation est meilleure quand le terme est élevé. Cette relation est mise en lumière par une note anonyme et le résultat est effectivement retrouvé par Johannes Kepler, qui restera fasciné par le nombre d'or toute sa vie. Il dit de lui « La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le second à un joyau précieux ».

La naissance d'un mythe au XIXème siècle

Il perd de son intérêt mathématique mais gagne un intérêt croissant en tant que système. Le philosophe allemand Adolf Zeising pense que le nombre d'or peut permettre de comprendre aussi bien les domaines scientifiques qu'artistiques. C'est durant le XVIIIe siècle que les termes section dorée et nombre d'or apparaissent. Malgré une approche scientifique douteuse, les théories de Zeising séduisent, notamment en France. Grâce au nombre d'or, il serait possible d'expliquer la beauté. Charles Henry, s'inscrivant dans l'esprit positiviste, signe le texte fondateur du pointillisme. Dans celui-ci, il associe le nombre d'or à une théorie de la couleur et des lignes. Il influencera des peintres comme Seurat et Pissaro.

Le XXe siècle : l'apogée du nombre d'or

Même durant tout le XXème siècle, le nombre d'or continue de fasciner mathématiciens, artistes et architectes. Sa popularité croît durant la première partie du XXe siècle. Matila Ghyka, prince roumain reprend les thèses du siècle passé en s'appuyant sur des exemples issus de la nature comme les coquillages et les plantes. Mais il va plus loin : il applique ces théories à l'architecture cependant la dimension mystique n'est jamais loin. Les pythagoriciens n'ont laissé aucune trace écrite sur le nombre d'or. Pour Ghyka et ses suivants, c'est parce qu'ils auraient voulu garder leur découverte secrète. Le nombre d'or serait un savoir perdu, nommé Tradition Primordiale ou Connaissance Occulte chez des mouvements comme les Rose-Croix, inspirés des idées développées en Allemagne par Franz Liharzik. Pour ce groupe, le nombre d'or serait la preuve incontestable de l'existence d'un groupe restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue. En 1929, Ghyka va toujours plus loin, affirmant que le nombre d'or est une preuve de supériorité culturelle, sociale et ethnique sur des populations. D'autres suivent sa pensée et utilise le nombre d'or pour comparer les morphologies d'une population afin de conclure à une supériorité raciale... D'autres intellectuels ou artistes ne vont pas si loin mais utilisent le nombre d'or pour des compositions musicale comme Iannis Xenakis, pour créer un bâtiment comme Le Corbusier, pour écrire des poèmes comme Paul Valéry et son Cantique des colonnes (1922) ou encore pour peindre comme Salvador Dali dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène. Sur le plan mathématique, le nombre d'or n'est plus utilisé à l'exception de la suite de Fibonacci. Sur le plan scientifique en revanche, il continue à intriguer et à poser des questions. La spirale des écailles de la pomme de pin est-elle liée à la proportion d'Euclide ? est une question qui fascine les scientifiques. Trouvez votre cours de math 3eme ici.

Le nombre d'or en géométrie

Comment trouver la section dorée ? — On peut dessiner une proportion d'extrême et moyenne raison. *(source Wikipedia)*

La première définition du nombre d'or est géométrique. Le théorème est le suivant : "Deux longueurs a et b (strictement positives) respectent la « proportion d'or » si le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a." A l'éclairage des travaux d'Euclide, une nouvelle définition du nombre d'or fait son apparition : "Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a/b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison." Voici la formule correspondante : φ = (1 + √5) / 2. φ est la solution d'une équation de second degré, ce qui permet de donner une troisième définition : "Le nombre d'or est l'unique solution de l'équation x² - x - 1 = 0." Grâce à ces calculs, il est possible de dessiner une proportion d'extrême et moyenne raison en se servant d'un compas, d'une règle et d'une équerre :

Tracez un cercle C de rayon 1,
A l'extrémité du rayon 1, tracez un segment de longueur 1/2, perpendiculaire au rayon,
Tracez le cercle C' de rayon 1/2 en posant la pointe du compas à l'extrémité du segment de longueur 1/2 précédemment tracé,
Tracez le segment depuis le centre du cercle C jusqu'à l'extrémité du cercle C' en passant par le centre du cercle C',
La longueur de ce segment vaut le nombre d'or.

A partir de ces cercles, il est possible de construire un rectangle d'or. On peut aussi intégrer un carré de côté a − b dans le rectangle d'or de côtés b × (a − b). En ajoutant un quart de cercle dans chaque carré, on obtient une spirale, appelée spirale d'or. Le nombre d'or peut aussi être utilisé pour la construction de pentagones et de pentagrammes et également en trigonométrie. Besoin de cours de math ?

Le nombre d'or en arithmétique

Comment calculer la divine proportion ? — Quand tu réussis à démontrer le lien entre la suite de Fibonacci et le nombre d'or. (source : The Atlantic)

L'autre méthode de définition du nombre d'or est algébrique. En algèbre, le nombre d'or est défini comme l'unique racine positive d'une équation. En utilisant les deux approches, algébrique et géométrique, il est possible de résoudre une équation du second degré. On parle alors d'algèbre géométrique. φ² = 1 + φ a pour solution le nombre d'or. La proportion dorée peut également être approchée en utilisant la fraction continue à l'infini. 1 + (1/(1 + (1/1))). La suite de Fibonacci fournit elle aussi des approximations du nombre d'or :

varphi =lim _{{nto infty }}{frac {F_{{n+1}}}{F_{n}}}.

Et réciproquement, la formule de Binet exprime la suite de Fibonacci en fonction du nombre d'or. La section dorée est aussi utilisée dans certaines équations diophantiennes. Progressez en maths avec des cours de maths en ligne.

L'omniprésence du nombre d'or

Vous l'aurez compris, le nombre d'or est omniprésent en mathématiques mais également tout autour de nous.

Dans la nature

Dans la nature, la section dorée est présente à travers plusieurs éléments :

Les écailles d'une pomme de pin engendrent des spirales logarithmiques qui peuvent faire apparaître la suite de Fibonacci,
Les étamines d'un tournesol répondent au même phénomène,
Les cristaux de quartz se forment en schéma pentagonal, faisant intervenir le nombre d'or,
L'écorce d'un ananas induit une spirale ordonnée associée au nombre d'or.

Mais la phyllotaxie du tournesol et la cristallographie du quartz ne suivent pas toujours les règles du nombre d'or. Il est donc difficile d'y voir un phénomène mystique ou divin. Peut-être est-ce simplement une coïncidence...

Qu'est-ce que la proportion dorée ? — En photographie aussi, la section dorée permettrait de prendre une image parfaite. *(source : Picture Perfect Photography)*

Le corps humain

La question du corps humain lié ou non au nombre d'or a été maintes fois posée, qu'elle soit d'ordre scientifique, artistique ou esthétique. Zeising avait d'ailleurs tenté de mesurer le corps humain à l'aide du seul nombre d'or mais cette tentative a rapidement été laissée de côté. Les proportions du corps humain ainsi dessinées n'étaient pas réalistes. De plus, les dimensions du corps humain sont en constante évolution. Les humains grandissent au fur et à mesure de l'évolution et pas forcément de manière uniforme. Pour autant, la recherche du nombre d'or dans le corps humain n'est pas abandonnée. Aujourd'hui, les scientifiques s'attardent sur le cerveau pour espérer y découvrir un lien avec le nombre d'or. Mais cette théorie reste controversée.

La peinture

La proportion dorée ne fascine pas que les scientifiques mais on la retrouve dans de nombreux domaines comme la peinture, notamment celle de la Renaissance. Rappelez-vous, à cette époque le nombre d'or était appelé divine proportion. On le retrouve dans le tableau La Naissance de Vénus de Botticelli. Mais parfois, ce sont des interprétations tardives et aucune volonté de la part de l'artiste comme le suggère le tableau Saint Jérôme de Léonard de Vinci dans lequel on retrouve le rectangle d'or. En définitive, avec quelques approximations, il est très facile d'approcher le nombre d'or. Les artistes divisent leurs toiles en huitième, puis en 4/8 et en 5/8, ce qui est très proche du nombre d'or à 7 millièmes près.

Comment repérer le nombre d'or ? — Le nombre d'or est autour de vous !

L'archéologie

L'usage du nombre d'or dans de nombreuses constructions anciennes est un sujet de controverse. Il est difficile de savoir si les constructeurs avaient conscience d'utiliser le nombre d'or ou si c'est une surinterprétation de la part des archéologues. On peut citer plusieurs exemples, tous ne faisant pas l'unanimité :

Le théâtre d'Epidaure,
La grande pyramide de Gizeh,
La façade du Parthénon selon les conventions (rectangle d'or),
Une tour antique à Modon,
Le grand autel de Pergame,
Une stèle funéraire d'Edessa,
Un tombeau à Pella.

L'architecture

En revanche, plus récemment, l'architecte Le Corbusier théorise l'utilisation du nombre d'or et crée un système appelé Modulor qu'il utilisera dans nombre de ses constructions comme la Cité radieuse de Marseille ou la Chapelle Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.

La poésie

Dans la métrique des vers, soit par la césure, soit par l'alternance de vers ayant un nombre de pieds différents, nous retrouvons les nombres de la suite traditionnelle de Fibonacci.

Que ce soit chez Baudelaire, De Musset ou Lamartine, amusez-vous à repérer les suites de Fibonacci !

La musique

En musique aussi, le nombre d'or est recherché dans l'harmonie et le rythme. L'approximation la plus proche du nombre d'or est la sixte mineure obtenue par deux sons dont les fréquences définissent un rapport de 8/5 = 1,6. On retrouve ce rapport et la suite 1-1 2-3-5-8 (de Fibonacci) notamment en jazz et en musique orientale. Dans les structures musicales, il existe de nombreux exemples chez Haydn, Mozart ou Beethoven où la proportion est souvent réglée dans le rapport 8/5, voisin de Φ.

L'esthétique mathématique

La question qui revient souvent est celle de l'existence ou non de l'idée de beauté associée au nombre d'or dans une réalité scientifique. L'artiste Xenakis est persuadé de l'existence d'une théorie scientifique de l'esthétique. "Les durées musicales sont créées par des décharges musculaires qui actionnent les membres humains. Il est évident que les mouvements de ces membres ont tendance à se produire en des temps proportionnels aux dimensions de ces nombres. D’où la conséquence : les durées qui sont en rapport du nombre d’or sont plus naturelles pour les mouvements du corps humain." Avant le sociologue Emile Durkheim, le philosophe Gustav Fechner essaie de valider scientifiquement une association entre le beau et le rectangle d'or. Les résultats de ses recherches montrent l'existence d'un canon de beauté construit à l'aide de la divine proportion mais le protocole n'était pas suffisamment rigoureux, invalidant donc l'expérience. Ainsi, aujourd'hui, aucune approche scientifique ne permet de confirmer l'hypothèse d'une théorie scientifique de la beauté.

La vexillologie

La proportion dorée se retrouve vraiment partout, même sur le drapeau du Togo qui reprend les proportions du rectangle d'or !

Tout savoir sur le nombre d'or ! — Un parfait rectangle d'or !

Et l'on pourrait continuer encore longtemps, tant la présence du nombre d'or fascine et fait l'objet de théories plus ou moins scientifiques et vérifiées ! Et pourquoi ne pas découvrir le nombre d'or lors d'un cours de maths terminale s ? Connaissiez-vous la proportion dorée ?