Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Euclide, Eléments, livre VI, 3ième définition
Le nombre d'or, aussi appelé section dorée, proportion dorée ou divine proportion, représente un rapport mathématique connu depuis l'Antiquité déjà. Il ne s'agit pas là d'une proportion ne s'appliquant qu'aux mathématiques, car l'art et le design usent de ces proportions dans un but purement esthétique. Que vous en soyez conscient.e ou non, le nombre d'or est partout autour de vous !
Il décrit une proportion bien particulière, reprise en géométrie ainsi que dans la suite de Fibonacci ou encore dans certaines compositions artistiques et graphiques afin de représenter "le beau". Pourquoi le nombre d'or est-il associé à l'harmonie visuelle ? Parce qu'il représente une égalité fondamentale en symbolisant une proportion entre le tout, la grande partie et la petite partie.
Le nombre d'or est une proportion définie comme le seul rapport a/b entre deux longueurs a et b en mathématiques.
Le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) est égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) : (a + b)/a = a/b.
Il est aussi désigné par la lettre grecque φ. C'est un nombre irrationnel, unique solution de l'équation :
Sa partie décimale étant par définition infinie et non périodique, on peut dire que sa valeur est d'environ 1,61803398875.
Un million d'élèves prennent des cours particuliers chaque année, dont une grande partie en mathématiques. Souvent vues comme difficiles, les mathématiques peuvent être ludiques et recèlent de fascinants mystères. Attaquons-nous à la proportion dorée pour un peu de sport à présent !
Symbole : φ
Valeur : 1,618033988…
Nature : nombre irrationnel
Formule : φ = (1 + √5) / 2
Nom alternatif : proportion dorée / divine proportion
La définition mathématique du nombre d’or
La proportion entre le tout, la grande partie et la petite partie
L'égalité fondamentale du nombre d'or est ce qui ne cesse d'émerveiller les mathématiciens du monde entier, à savoir que le carré du nombre d'or est égal au nombre d'or lui-même auquel on ajoute 1. Ainsi, cela donne :
Qu'est-ce que cela signifie, concrètement ? Que si l'on prend un segment de longueur totale a + b, que a représente la grande longueur et b la petite longueur, le segment suis la règle du nombre d'or dans le cas où la division de a+b sur a donne le même résultat que la division de a sur b.
Si les deux résultats donnent effectivement le même nombre, autrement dit environ 1,618, alors le rapport est égal, et il s'agit du nombre d'or !
Petit exemple : un petit segment de 21cm au total que l'on divise en deux petits segments, a représentant 13cm et b représentant 8cm.
On vérifie alors le rapport :
Et :
Ainsi, le rapport du tout à la grande partie est identique au rapport de la grande partie à la petite ! En revanche, le segment est "mal" équilibré et ne respecte pas la règle du nombre d'or dans le cas suivant (un cas parmi tant d'autres !) : un petit segment de 17cm, a représentant 10cm et b 7cm. Cela donne :
Et :
Quelle est la formule du nombre d’or ?
Bien que l'on connaisse, à ce stade de l'article, la valeur approximative du nombre d'or, nous n'avons pas encore mentionné sa formule ! La voici donc :
On observe qu'en multipliant ce même nombre d'or par lui-même, alors on obtient exactement le même résultat + 1 ! Pourquoi obtient-on cette équation ci-dessus ? Cela découle de l'égalité fondamentale nommée plus haut, pour rappel :
Or, si on pose :
cette proportion donne l'équation :
Or, cette équation du second degré donne précisément :
Pourquoi le nombre d’or est-il irrationnel ?
Le nombre d'or est irrationnel car il ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction exacte, mais également parce que son écriture décimale est infinie et non périodique !
Comment calculer le nombre d’or simplement ?
Calculer une longueur à partir d’une autre
Pour calculer une longueur à partir d'une autre grâce au nombre d'or, cela dépend de la longueur connue.
Si c'est la petite longueur (b) qui est connue dans le rectangle d'or, alors il faut multiplier par 1,618 pour trouver a. Nous avons ainsi :
Si c'est la grande longueur (a) qui est connue, alors il faut diviser par 1,618 pour trouver b. Ce qui fait :
Exemple concret : pour un rectangle d'or dont la largeur (la petite longueur) vaut 10cm, la grande longueur est d'environ 16,18 cm (10 x 1,618). Pour un rectangle d'or dont la grande longueur vaut 23cm, la petite longueur est d'environ 14,22 cm (23 / 1,618).
Construire un rectangle d’or
Tracer un carré de départ de taille classique
Placer le point M, au milieu du segment inférieur [AB]
Faites prolonger ce côté en une demi-droite
Tracer la diagonale depuis le point M vers le sommet opposé
En partant de M, tracez un arc de cercle jusqu'à la demi-droite en passant par le sommet opposé
Reporter cette longueur pour former le rectangle
Comment vérifier si un rectangle est proche du nombre d’or ?
En réalité, c'est assez simple, compte tenu de ce que nous avons déjà vu jusqu'ici ! Il faut diviser le grand côté du segment par le petit : si le résultat est proche de 1,618, alors le rectangle est nécessairement proche d'un rectangle d'or !
Le nombre d’or est une proportion, pas une mesure fixe. Le nombre d’or ne correspond pas à une taille précise, mais à un rapport entre deux dimensions !
Le nombre d’or en géométrie
Le rectangle d’or
La première définition du nombre d'or est géométrique. Le théorème est le suivant : "Deux longueurs a et b (strictement positives) respectent la « proportion d'or » si le rapport de a sur b est égal au rapport de a + b sur a."
A l'éclairage des travaux d'Euclide, une nouvelle définition du nombre d'or fait son apparition : "Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté φ, égal à la fraction a/b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison."
Voici la formule correspondante :
φ est la solution d'une équation de second degré, ce qui permet de donner une troisième définition : "Le nombre d'or est l'unique solution de l'équation :
Grâce à ces calculs, il est possible de dessiner une proportion d'extrême et moyenne raison en se servant d'un compas, d'une règle et d'une équerre avec notamment un angle :
Tracez un cercle C de rayon 1
A l'extrémité du rayon 1, tracez un segment de longueur 1/2, perpendiculaire au rayon
Tracez le cercle C' de rayon 1/2 en posant la pointe du compas à l'extrémité du segment de longueur 1/2 précédemment tracé
Tracez le segment depuis le centre du cercle C jusqu'à l'extrémité du cercle C' en passant par le centre du cercle C'
La longueur de ce segment vaut le nombre d'or
A partir de ces cercles, il est possible de construire un rectangle d'or avec angles. Lorsqu’on retire un carré d'un rectangle d'or, le rectangle restant conserve les mêmes proportions ! Le nombre d'or peut aussi être utilisé pour la construction d'un pentagone et de pentagrammes, mais également en trigonométrie.
Le pentagone régulier et l’étoile à cinq branches
Quel est le véritable lien entre le nombre d'or et le pentagone régulier ? Plus qu'une base de proportion jugée belle et esthétique, le nombre d'or a de véritables bases géométriques. On remarque en effet qu'en traçant un pentagone ainsi que ses diagonales, la longueur d'une diagonale divisée par la longueur d'un côté vaut exactement le nombre d'or !
Et ce n'est pas tout : en traçant toujours ces mêmes diagonales au sein du pentagone régulier, on observe que chaque branche de l'étoile forme un triangle d'or... Et au centre des diagonales se dessine un nouveau pentagone, lui-même inversé et gardant les proportions d'or !
La spirale dorée
La spirale dorée est la représentation la plus célèbre du nombre d'or, comme montré plus haut ! Elle est dessinée à partir des quarts de cercle au sein de carrés successifs.
On l'observe, il est vrai, dans certains phénomènes naturels, cependant on attribue parfois à tort certains phénomènes au nombre d'or.
C'est par exemple le cas de la coquille du Nautile ou de la coquille d'escargot, toutes deux étant des spirales logarithmiques qui ne représentent donc pas de manière exacte et parfaite le nombre d'or, contrairement à la disposition des graines de tournesol ou encore aux pommes de pin.
Le nombre d’or et la suite de Fibonacci
L'autre méthode de définition du nombre d'or est algébrique. En algèbre, le nombre d'or est défini comme l'unique racine positive d'une équation. En utilisant les deux approches, algébrique et géométrique, il est possible de résoudre une équation du second degré. On parle alors d'algèbre géométrique.
φ2 = 1 + φ a pour solution le nombre d'or. La proportion dorée peut également être approchée en utilisant la fraction continue à l'infini : 1 + (1/(1 + (1/1))).
La suite de Fibonacci fournit elle aussi des approximations du nombre d'or ! Et réciproquement, la formule de Binet exprime la suite de Fibonacci en fonction du nombre d'or. La section dorée est aussi utilisée dans certaines équations diophantiennes.
Qu’est-ce que la suite de Fibonacci et quel est le lien entre Fibonacci et le nombre d’or ?
La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers où chaque nombre est la somme des deux nombres précédents ! Ainsi, nous avons : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
Or, on remarque attentivement que plus l'on a affaire à de grands nombres dans la suite, et plus le quotient des deux termes successifs se rapproche progressivement de la valeur du nombre d'or, à savoir le fameux 1,618... Ainsi, nous avons exactement :
- 2 ÷ 1 = 2
- 3 ÷ 2 = 1,5
- 5 ÷ 3 = 1,666...
- 8 ÷ 5 = 1,6
- 13 ÷ 8 = 1,625
- 21 ÷ 13 = 1,615...
- 34 ÷ 21 = 1,619
| Terme de Fibonacci | Terme suivant | Rapport approximatif |
|---|---|---|
| 8 | 13 | 1,625 |
| 13 | 21 | 1,615 |
| 21 | 34 | 1,619 |
D’où vient le nombre d’or ?
Les origines dans la géométrie antique
Le nombre d'or est très ancien et était utilisé dans un premier temps en géométrie, vraisemblablement par les pythagoriciens. Ils s'en servaient pour construire des pentagones à l'aide de triangles isocèles.
A cette époque, il n'était cependant pas utilisé de manière arithmétique puisque les pythagoriciens pensent que tout nombre est rationnel, or la proportion dorée ne l'est pas. Mais le premier texte mathématique évoquant réellement le nombre d'or a été rédigé par Euclide en 300 avant JC.
avant J.-C., est pour nombre de scientifiques l'origine du nombre d'or.
Il le définit comme suit :
Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.
Euclide, Les Éléments
Cependant, Platon est sans doute à l'origine de l'étude du nombre d'or comme objet d'étude à part entière. A cette époque, ce nombre n'est alors pas appelé "nombre d'or" !
Du Moyen Âge à la Renaissance : proportions, art et architecture
Le mathématicien Al-Khawarizmi apporte un nouveau regard sur la section dorée au VIIIᵉ siècle en proposant plusieurs problèmes qui consistent à diviser une longueur de dix unités en deux parties.
La solution de l'un d'eux est la taille initiale divisée par le nombre d'or.
Mais c'est Fibonacci qui parle et qui montre les équations du mathématicien perse en Europe, notamment à travers sa célèbre suite de Fibonacci (à savoir, une suite de nombres entiers dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres le précédant), sans pour autant y voir un lien avec le nombre d'or.
A la Renaissance, le nombre d'or est appelé divine proportion et relève plutôt d'une intervention divine, selon le livre de Pacioli, illustré par le célèbre Léonard de Vinci. C'est aussi à cette époque que la suite de Fibonacci est mise en relation avec le nombre d'or.
En divisant un terme de la suite par son terme précédent, le résultat se rapproche du nombre d'or. L'approximation mathématique est meilleure quand le terme est élevé. Cette relation est mise en lumière par une note anonyme et le résultat est effectivement retrouvé par Johannes Kepler, qui restera fasciné par le nombre d'or toute sa vie. Il dit de lui :
La géométrie contient deux grands trésors : l’un est le théorème de Pythagore ; l’autre est la division d’une ligne en moyenne et extrême raison. Le premier peut être comparé à une règle d’or ; le second à un joyau précieux.
Johannes Kepler
Le XIXe et le XXe siècle : naissance et diffusion du mythe du nombre d’or
Il perd de son intérêt mathématique mais gagne un intérêt croissant en tant que système. Le philosophe allemand Adolf Zeising pense que le nombre d'or peut permettre de comprendre aussi bien les domaines scientifiques qu'artistiques.
C'est durant le XVIIIe siècle que les termes section dorée et nombre d'or apparaissent. Malgré une approche scientifique douteuse, les théories de Zeising séduisent. Grâce au nombre d'or, il serait possible d'expliquer la beauté. Charles Henry, s'inscrivant dans l'esprit positiviste, signe le texte fondateur du pointillisme. Dans celui-ci, il associe le nombre d'or à une théorie de la couleur et des lignes. Il influencera des peintres comme Seurat et Pissaro !
Même durant tout le XXᵉ siècle, le nombre d'or continue de fasciner mathématiciens, artistes et architectes. Sa popularité croît durant la première partie du XXe siècle.
Le nombre d'or serait un savoir perdu, nommé "Tradition Primordiale" ou "Connaissance Occulte" chez des mouvements comme les Rose-Croix, inspirés des idées développées en Allemagne par Franz Liharzik.
Pour ce groupe, le nombre d'or serait la preuve incontestable de l'existence d'un groupe restreint d'initiés possédant la science mathématique absolue.
D'autres intellectuels ou artistes ne vont pas si loin mais utilisent le nombre d'or en dehors du champ des mathématiques, pour des compositions musicale comme Iannis Xenakis, pour créer un bâtiment comme Le Corbusier, pour écrire des poèmes comme Paul Valéry et son Cantique des colonnes (1922) ou encore pour peindre comme Salvador Dali dans un tableau dénommé Le Sacrement de la dernière Cène.
Antiquité
Formalisation géométrique
Renaissance
« Divine proportion » et diffusion artistique
XIXe siècle
Popularisation du terme « nombre d’or »
XXe siècle
Succès dans le design, l’architecture et la culture populaire
Où trouve-t-on le nombre d’or ?
Vous l'aurez compris, le nombre d'or est omniprésent en mathématiques mais également tout autour de nous, tout comme l'est la constante d'Archimède ! Mais leur utilisation n'est pas aisée pour autant.
Le nombre d’or dans la nature
Dans la nature, la section dorée est présente à travers plusieurs éléments :
Les écailles d'une pomme de pin
Engendrent des spirales logarithmiques qui peuvent faire apparaître la suite de Fibonacci
Les étamines d'un tournesol
Répondent au même phénomène
Les cristaux de quartz
Se forment en schéma pentagonal, faisant intervenir le nombre d'or
L'écorce d'un ananas
Induit une spirale ordonnée associée au nombre d'or
Mais la phyllotaxie du tournesol et la cristallographie du quartz ne suivent pas toujours les règles du nombre d'or. Il est donc difficile d'y voir un phénomène mystique ou divin. Peut-être est-ce simplement une coïncidence...
Le corps humain et le visage : une proportion idéale ?
La question du corps humain lié ou non au nombre d'or a été maintes fois posée, qu'elle soit d'ordre scientifique, artistique ou esthétique. Zeising avait d'ailleurs tenté de mesurer le corps humain à l'aide du seul nombre d'or, mais cette tentative a rapidement été laissée de côté. Les proportions du corps humain ainsi dessinées n'étaient pas réalistes.
De plus, les dimensions du corps humain sont en constante évolution. Les humains grandissent au fur et à mesure de l'évolution et pas forcément de manière uniforme ! Pour autant, la recherche du nombre d'or dans le corps humain n'est pas abandonnée. Aujourd'hui, les scientifiques s'attardent sur le cerveau pour espérer y découvrir un lien avec le nombre d'or. Cependant, cette théorie reste controversée...
Peinture, photographie et composition visuelle
La proportion dorée ne fascine pas que les scientifiques ! On la retrouve en effet dans de nombreux domaines comme la peinture, et notamment celle de la Renaissance. Rappelez-vous qu'à cette époque le nombre d'or était appelé divine proportion. On le retrouve dans le tableau La Naissance de Vénus de Botticelli.
Mais parfois, ce sont simplement des interprétations tardives et cela ne fait donc, dans ces cas-ci, aucunement part d'une quelconque volonté de la part de l'artiste, comme le suggère le tableau Saint Jérôme de Léonard de Vinci, dans lequel on retrouve le rectangle d'or.
En définitive, avec quelques approximations, il est très facile d'approcher le nombre d'or ! Les artistes divisent leurs toiles en huitième, puis en 4/8 et en 5/8, ce qui est très proche du nombre d'or à 7 millièmes près. En photographie, la grille du nombre d'or est également une image que l'on voit souvent sur le net.
Archéologie
L'usage du nombre d'or dans de nombreuses constructions anciennes est un sujet de controverse. Il est difficile de savoir si les constructeurs avaient conscience d'utiliser le nombre d'or ou s'il s'agit d'une surinterprétation de la part des archéologues. On peut citer plusieurs exemples, tous ne faisant pas l'unanimité :
- Le théâtre d'Epidaure
- La grande pyramide de Gizeh
- La façade du Parthénon selon les conventions (rectangle d'or)
- Une tour antique à Modon
- Le grand autel de Pergame
- Une stèle funéraire d'Edessa
- Un tombeau à Pella
Architecture et design
En revanche, plus récemment, l'architecte Le Corbusier théorisa l'utilisation du nombre d'or et créa un système appelé Modulor qu'il utilisera dans nombre de ses constructions, comme la Cité radieuse de Marseille ou encore la Chapelle Notre-Dame du Haut de Ronchamp.
| Domaine | Ce que l’on peut affirmer | Point de vigilance |
|---|---|---|
| Nature | Certaines organisations suivent souvent des motifs liés à Fibonacci | Pas de présence automatique de φ |
| Corps humain | Certaines proportions peuvent être proches de 1,618 | Aucune norme universelle |
| Art | Outil possible de composition | Attribution souvent discutée |
| Design | Méthode pratique pour équilibrer un format | Ne garantit pas un bon design |
Non. Il est démontré dans plusieurs constructions mathématiques, mais sa présence dans la nature, l’art ou l’architecture doit être vérifiée au cas par cas !
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Bonsoir Yann,
Merci pour toute ses infos
Serait’il possible d’avoir rdv avec vous ?