Quels sont les premiers nombres parfaits ?

<p>Les premiers nombres parfaits sont 6, 28, 496, 8 128 et 33 550 336. Par exemple, 28 est parfait car ses diviseurs propres sont 1, 2, 4, 7 et 14, dont la somme est égale à 28.</p>

Pourquoi 6 est-il un nombre parfait ?

<p>Le nombre 6 est parfait car ses diviseurs positifs propres sont 1, 2 et 3. Leur somme donne exactement 6 : (1 + 2 + 3 = 6). C’est le plus petit nombre parfait connu.</p>

Nombre parfait : comment les reconnaître et les calculer ?

Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.
John Von Neumann

Les mathématiques existent depuis la nuit des temps, si l'on en croit la découverte de l'os d'Ishango (plus de 20 000 ans). Or, l'on sait que déjà durant l'Antiquité, les mathématiciens disposaient d'une grande fascination autour des nombres, et notamment autour des nombres parfaits.

Un nombre parfait est un nombre entier naturel tel que la somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même ou à la somme de ses diviseurs stricts. Qu'est-ce qu'un diviseur propre ? Il s'agit d'un autre diviseur que le nombre lui-même.

En mathématiques, les nombres parfaits disposent d'une origine fascinante, rien qu'en ce qui concerne leur nom, à savoir "nombres parfaits".

Les Pythagoriciens ainsi qu'Euclide, plus tard, s'intéressèrent à ces nombres si particuliers, les premiers leur attribuant un caractère sacré et supérieur, le second analysant les nombres purement d'un point de vue scientifique rigoureux en mathématique.

Le nombre 6 est l'exemple idéal d'un nombre parfait car il s'agit d'un entier positif égal à la somme de ses diviseurs propres, à savoir tous ses diviseurs excepté lui-même :

6 = 1 + 2 + 3

À ce jour, absolument tous les nombres parfaits connus sont pairs, et, bien qu'il soit possible d'en découvrir d'autres par la suite, ils sont actuellement peu nombreux.

À ce jour, nous avons répertorié au total

nombres parfaits !

Les premiers nombres parfaits sont les suivants :

6 (1 + 2 + 3 = 6)
28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28)
496 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496)
8 128 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064 = 8 128)

Définition à retenir

Un nombre est parfait si et seulement si on a :
σ(n) = 2n

Ici, sigman (σ) représente la somme de tous les diviseurs positifs de n !

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Qu’est-ce qu’un nombre parfait ?

Définition avec les diviseurs propres

Un nombre parfait est un nombre dont la somme des diviseurs propres équivaut au nombre lui-même. Que sont les diviseurs propres ? Il s'agit de tous les diviseurs du nombre excepté lui-même.

Ainsi, à titre d'exemple, pour 6, nous avons 4 diviseurs : 1, 2, 3 et 6. Cependant, il faut donc enlever le 6 et faire la somme des trois autres diviseurs, ce qui donne... 6 !

On fait donc :

1 + 2 + 3 = 6

Pour 28, nous avons :

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Testons maintenant avec 12 :

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, ce qui est différent de 12, signifiant donc que 12 n'est pas un nombre parfait !

6 est parfait

1 + 2 + 3 = 6

12 n'est pas parfait

1 + 2 + 3 + 4 + 6 ≠ 12

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Nombre parfait ou chiffre parfait : quelle différence ?

En mathématiques, on parle de nombre parfait et non pas de chiffre parfait. Pourquoi ? Tout simplement parce qu'un nombre est une entité de quantité écrite avec un ou plusieurs chiffres, ce qui englobe donc les chiffres de 0 à 9. Il faut bien noter qu'un chiffre est un symbole de 0 à 9, permettant de noter les nombres. 6 est à la fois un chiffre et un nombre, cependant, pour englober tout nombre parfait, il faut donc indiquer "nombres parfaits".

Liste des nombres parfaits connus

Les premiers nombres parfaits

Il n'existe que trois nombres parfaits inférieurs à 1000 : 6, 28 et 496. Les premiers nombres parfaits sont : 6, 28, 496, 8 128 et 33 550 336.

Rang	Nombre parfait	Décomposition / vérification
1	6	1 + 2 + 3 = 6
2	28	1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
3	496	Somme de ses diviseurs propres = 496
4	8 128	Somme de ses diviseurs propres = 8 128
5	33 550 336	Généré à partir d’un nombre premier de Mersenne

Pourquoi les nombres parfaits deviennent-ils si grands ?

Notons que la liste des nombres parfaits connus est particulière en ce sens que les nombres deviennent très vite extrêmement longs ! Ils dépendent d'ailleurs de la découverte des nouveaux nombres premiers de Mersenne, et demeurent très rares. Ce sont désormais grâce à des supercalculateurs que nous trouvons les quelques rares nombres premiers.

Mais pourquoi, concrètement ? Tout cela est dû à la nature même de la formule d'Euclide-Euler, à savoir :

N = 2^{p-1}(2^p - 1)

Explication concrète

Avec les exposants, qui sont donc 2ᵖ, chaque fois que le nombre premier p augmente un peu, le résultat final grimpe en flèche, nécessairement...

Comment savoir si un nombre est parfait ?

Méthode simple : additionner les diviseurs propres

La méthode la plus simple et la plus directe consiste à relever les diviseurs positifs du nombre en question.

Cette méthode inclut

étapes :

Etape n°1

Relever les diviseurs positifs du nombre

Etape n°2

Exclure le nombre lui-même

Etape n°3

Les additionner

Etape n°4

Comparer le résultat au nombre initial

Prenons l'exemple de 28 :

Etape n°1 : ses diviseurs sont → 1, 2, 4, 7, 14 et 28
Etape n°2 : on exclut le nombre 28 lui-même, donc cela donne → 1, 2, 4, 7 et 14
Etape n°3 : on additionne les diviseurs propres → 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Etape n°4 : on compare et on observe ainsi que le résultat final est identique au nombre lui-même ! 28 est donc un nombre parfait en tous points.

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Selon vous, 18 est-il un nombre parfait ?

Oui0%

Non0%

Peut-on trouver un nombre parfait avec un programme ?

Les nombres parfaits étant bien souvent gigantesques, ils sont aujourd'hui exclusivement trouvés par le biais de programmes informatiques ! En python, par exemple, un programme peut aisément tester chaque entier un par un :

def est_parfait(n):
    somme_diviseurs = sum(i for i in range(1, n) if n % i == 0)
    return somme_diviseurs == n

# Test des nombres de 1 à 10 000
for nombre in range(1, 10000):
    if est_parfait(nombre):
        print(f"{nombre} est un nombre parfait !")

Les limites de cette astuce

Cette méthode s'avère inefficace pour les très grands entiers tels que ceux dépassant 10 000.

Réponse à la question ci-dessus concernant le nombre 18 : 18 n'est pas un nombre parfait car la somme de ses diviseurs propres (à savoir : 1 + 2 + 3 + 6 + 9) équivaut à 21 et non pas à 18.

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La formule des nombres parfaits pairs : le théorème d’Euclide-Euler

Le lien entre nombres parfaits et nombres premiers de Mersenne

Le théorème d'Euclide-Euler établit une équivalence totale entre les nombres parfaits pairs et les nombres premiers de Mersenne, tel que dans la formule :

N = 2^{p-1}(2^p - 1)

"2ᵖ - 1" soit un nombre premier de Mersenne. Il s'agit de l'unique condition absolue ! Prenons deux exemples :

Pour p = 3 → (2³ - 1) = 7 (qui est bien un nombre premier), ce qui donne avec l'application globale de la formule :

2^{3-1}(2^3 - 1) = 4 \times 7 = 28

Pour p = 2 → (2² - 1) = 3 (qui est également un nombre premier), ce qui donne :

2^{2-1} \times (2^2 - 1) = 2^1 \times 3 = 6

Ce que démontre le théorème d’Euclide-Euler

Le théorème d'Euclide : si Mn est premier, alors 2^n-1 Mn est un nombre parfait. On admet la fonction σ(n) comme la somme de tous les diviseurs de l’entier positif n. Un nombre parfait k est caractérisé par σ(k) = 2k. La fonction σ a la propriété suivante : si a et b sont deux naturels premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a)σ(b).

Par ailleurs :

comme Mn est premier, on a σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2ⁿ- 1) = 2ⁿ
σ(2^n-1) = 1 + 2 + 2²+ 2³ + · · · + 2^n-1= 2ⁿ - 1 = Mn

Alors σ(2^n-1Mn) = σ(2^n-1) x σ (Mn) = Mn x 2ⁿ= 2 x (2^n-1Mn)

Si l'on résume :

Euclide a démontré comment produire des nombres parfaits pairs à partir de certains nombres premiers
Euler est parvenu à démontrer que tout nombre parfait pair est obtenu par sa formule

Existe-t-il des nombres parfaits impairs ?

Aucun nombre parfait impair n’est connu

Pour le moment, on ignore s'il existe des nombres parfaits impairs. Tous les exemples sont des nombres pairs, mais cela ne veut pas dire qu'il n'existe aucun nombre parfait impair !

Même si les recherches avancent, aucune n'a permis pour l'instant d'affirmer ou d'infirmer cette hypothèse. Carl Pomerance a publié une méthode heuristique suggérant l'inexistence d'un nombre parfait impair.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes :

N doit posséder plus de 300 chiffres s'il existe et être supérieur à 10^{1 500}
N est de la forme :

N = q^k \cdot p_1^{2e_1} \cdot p_2^{2e_2} \cdots p_m^{2e_m}

où :

q, p₁, … , p_k sont des nombres premiers distincts (Euler)

q \equiv 1 \pmod{4}

Le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3
La relation e₁ + e₂ + … + eₖ ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite

qᵏ > 10⁶² ou p_j^2e_j > 10⁶² pour au moins un j
N est inférieur à 2^4k+1

Si eᵢ ≥ 2 pour tout i :
- Le plus petit diviseur premier de N est au moins 739
- N ≡ 1 (modulo 12) ou N ≡ 9 (modulo 12)
Le plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 10⁸
Le second plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 10⁴ et le troisième à 100
N doit comporter au moins 101 diviseurs premiers et au moins 10 diviseurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts

Si tant est qu'ils existent, aucun nombre parfait impair n'est divisible par 105. De plus, aucun nombre de Fermat ne peut être parfait !

Ce que les mathématiciens savent déjà

Si l'on parvenait à trouver un nombre impair parfait dans le futur, à condition que cela soit possible bien entendu, alors les mathématiciens considèrent qu'il serait, dans ce cas, extrêmement grand.

En théorie des nombres, la recherche d'un tel nombre impair parfait est un problème ouvert à l'heure actuelle !

Il n'existerait aucun nombre parfait impair inférieur à

10¹⁵⁰⁰

selon Christophe Clavier, enseignant-chercheur français spécialisé en informatique, en cryptographie ainsi qu'en sécurité des systèmes embarqués.

Histoire des nombres parfaits : d’Euclide aux recherches modernes

Les premiers travaux dans l’Antiquité

La proposition 36 du Livre IX des Eléments d’Euclide affirme que si le nombre 1 est premier, alors $2^{p - 1}$

est un nombre parfait. Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité. On les retrouve dans les travaux de Nicomache de Gérase et de Théon de Smyrne.

Le cinquième nombre parfait est quant à lui mentionné dans un codex latin de

1456

Les avancées d’Euler

René Descartes a confirmé dans une lettre à Mersenne que tout nombre parfait pair est euclidien, cependant il n'a pas démontré sa théorie. En revanche, le mathématicien suisse Leonhard Euler est le premier à donner une démonstration de l’observation de Descartes !

La combinaison des résultats d'Euclide et d'Euler permet ainsi d'obtenir une caractérisation complète des nombres parfaits pairs. Les sixième et septième nombres parfaits ont été trouvés par Cataldi au XVIᵉ siècle et le huitième en 1772 par Euler.

Les recherches contemporaines et les nombres de Mersenne

Ainsi, dès le début des années 1950, on connaissait

nombres parfaits.

Mais depuis, la recherche s'est accélérée grâce à des techniques de plus en plus sophistiquées et à l'utilisation de l'ordinateur dans les années 1990 via le GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Antiquité

Les travaux d'Euclide

XVIIe siècle

Les travaux de Mersenne et de Descartes

XVIIIe siècle

Les travaux de Euler

Époque contemporaine

Utilisation d'ordinateurs et de supercalculateurs

Présenter le rôle des calculs informatiques collaboratifs dans la recherche de grands nombres premiers de Mersenne et, indirectement, de nouveaux nombres parfaits pairs.

À quoi servent les nombres parfaits ?

Un intérêt majeur en théorie des nombres

Si les nombres premiers sont reconnus comme étant le fondement même de l'arithmétique par de nombreux mathématiciens, les nombres parfaits n'ont pas d'utilité particulière, dans le sens où ils ne sont pas utilisés pour résoudre une équation, une factorisation et n'entrent pas dans le champ de la cryptographie.

Ils étaient auparavant considérés comme supérieurs à tous les autres et certains voyaient un rôle mystique en eux :

Six est un nombre parfait en lui-même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait.
Saint Augustin dans "La Cité de Dieu"

Ils demeurent l'un des mystères des mathématiques, raison pour laquelle la recherche de nouveaux nombres parfaits fascine encore aujourd'hui de nombreux mathématiciens ! Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses.

Cependant, il convient de rappeler qu'avant tout, l'utilisation des nombres parfaits est fréquente lorsqu'il s'agit d'étudier les diviseurs, les fonctions arithmétiques, les nombres premiers ainsi que lorsqu'il s'agit de traiter des problèmes encore ouverts concernant la théorie des nombres.

Des applications surtout indirectes

Les applications de l'usage des nombres parfaits sont principalement indirectes. Ils ne sont pas, en tant que tels, des objets de la vie courante que nous percevons au quotidien.

Des domaines d'application

Cependant, les méthodes utilisées pour étudier les nombres parfaits sont globalement similaires à celles utilisées pour étudier les nombres premiers, les calculs distribués ainsi que les grands entiers ! L'informatique est un domaine au sein duquel les nombres parfaits trouvent leur place, de par la méthode qui permet de les trouver notamment.

Nombres apparentés aux nombres parfaits

Nombres déficients et nombres abondants

Quelques définitions, à présent ! Le nombre déficient est un nombre dont la somme des diviseurs propres (donc, à l'exclusion du nombre lui-même) est plus petite que le nombre de départ. Celui-ci est alors nommé "déficient", comme c'est par exemple le cas de :

123 : 1 + 3 = 4 (4 est largement inférieur à 123 !)
845 : 1 + 5 + 13 + 65 + 169 = 253 (inférieur à 845)

En revanche, lorsque la somme des diviseurs propres du nombre de départ est plus grande que le nombre de départ, alors ce nombre est nommé "abondant" :

88 : 1 + 2 + 4 + 8 + 11 + 22 + 44 = 92 (supérieur à 88)
400 : 1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 10 + 16 + 20 + 25 + 40 + 50 + 80 + 100 + 200 = 561 (supérieur à 400)

Le nombre parfait, par opposition à ces deux catégories, est donc l'égalité parfaite entre la somme des diviseurs propres et le nombre lui-même.

Type de nombre	Somme des diviseurs propres	Exemple
Déficient	Inférieure au nombre	10
Parfait	Égale au nombre	6
Abondant	Supérieure au nombre	12

Nombres multiparfaits, triparfaits et hyperparfaits

Sur la base des nombres parfaits, il existe aussi des nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits.

Les nombres triparfaits

Un nombre triparfait est toujours pair. S'il en existe un impair, il est supérieur à 10⁵⁰. La somme des diviseurs du nombre triparfait, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre. Par exemple, 120 est un nombre triparfait parce que 2³ * 3 * 5 = 120.

On ne connaît que

nombres triparfaits :

120
672
523 776
459 818 240
1 476 304 896
51 001 180 160

Les nombres multiparfaits

La somme des diviseurs d'un nombre multiparfait, y compris lui-même, correspond à k fois le nombre. Les mathématiciens ont découvert plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'à l'ordre 8, et ils pensent connaître tous les multiparfaits d'ordre 3 à 7 :

2⁵ x 3³ x 5 x 7 est le premier tétraparfait
2⁷x 3⁴x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait
Le plus grand connu est 7,3 10 ^{1 345}

Les nombres hyperparfaits

Un nombre hyperparfait est tel que : n = 1 + k(o(n) - n - 1) :

Un nombre 1-hyperparfait

Est un nombre parfait

Un nombre 2-hyperparfait (HP)

Est de la forme 2o(n) = 3n + 1 : 21, 2 133, 19 521, 176 661...

Un nombre 3-HP

Est de la forme 3o(n) = 4n +2 : 325 et aucun autre jusqu'à n = 1 000 000

4-HP

1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625

Aucun 5-HP

N'est connu

6-HP

301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401

Les nombres presque parfaits

Il s'agit d'un entier naturel dont la somme des diviseurs propres est égale à lui-même, auquel on additionne ou soustrait l'unité. Toutes les puissances de 2 sont des nombres presque parfaits car la somme des diviseurs propres de chacun de ces nombres est égale au nombre diminué de 1. Ainsi, la somme des diviseurs propres de 8 est 7, celle de 16 est 15, celle de 32 et 31, et ainsi de suite...

À ce jour, on ne connaît pas de nombres presque parfaits dont la somme des diviseurs propres est égale au nombre plus l'unité ! À présent, pourquoi ne pas vous entraîner avec des exercices de maths ? Concentrez-vous plutôt sur la fraction, la division euclidienne, le logarithme ou encore le raisonnement en géométrie !

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Emma Gues

Rédactrice auto-entrepreneuse, j'adore travailler sur les thèmes du voyage, des langues, des arts et de la littérature !

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