"Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée." John Von Neumann

Si vous faites partie des gens qui n'ont jamais rien compris en maths, cette citation doit vous sembler compliquée à admettre...

Les mathématiques existent depuis la nuit des temps, si l'on en croit la découverte de l'os d'Ishango (plus de 20 000 ans). Il est peut-être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication mais le sujet reste controversé.

Si les maths demeurent un mystère pour nombre d'entre nous, certains y voient un excellent moyen de comprendre et d'analyser notre monde.

Dans cet article, vous découvrirez ce qu'est un nombre parfait et à quoi sert-il (spoiler alert : il ne vous permettra pas d'améliorer votre quotidien !).

Quelle est l'utilité des nombres parfaits ?

Comment reconnaître les nombres parfaits ?
"C'est un peu comme de l'elfique, je suis incapable de le lire." (source : IMG Flip - Le Seigneur des Anneaux)

Un nombre parfait est un nombre entier naturel tel que la somme de ses diviseurs propres est égale au nombre lui-même ou à la somme de ses diviseurs stricts.

Un diviseur propre est un autre diviseur que le nombre lui-même.

Un petit historique des nombres parfaits

Les nombres parfaits sont liés à la recherche de nombres premiers de Mersenne.

En effet, la proposition 36 du Livre IX des Eléments d’Euclide affirme que si le nombre de Mersenne 2n − 1 est premier, alors 2n − 1 (2n − 1) est un nombre parfait.

René Descartes a confirmé dans une lettre à Mersenne que tout nombre parfait pair est euclidien mais il n'a pas démontré sa théorie.

En revanche, le mathématicien suisse Leonhard Euler, est le premier à donner une démonstration de l’observation de Descartes.

La combinaison des résultats d'Euclide et d'Euler permet d'obtenir une caractérisation complète des nombres parfaits pairs.

Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité. On les retrouve dans les travaux de Nicomache de Gérase et de Théon de Smyrne. Et le cinquième nombre parfait est mentionné dans un codex latin de 1456 (pas un pokédex, un codex. C'est un cahier fait de pages manuscrites reliées ensemble en forme de livre. C'est l'ancêtre du livre moderne inventé à Rome au IIe siècle avant JC).

Les sixième et septième nombres parfaits ont été trouvés par Cataldi au XVIème siècle et le huitième en 1772 par Euler.

Ainsi, dès le début des années 1950, on connaissait 12 nombres parfaits mais depuis la recherche s'est accélérée grâce à des techniques de plus en plus sophistiquées et l'utilisation de l'ordinateur dans les années 1990 via le GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) (non, pas Gims, je vous vois venir... Restons sérieux un peu ^^).

Mais à quoi servent les nombres parfaits ?

Si les nombres premiers sont reconnus comme étant le fondement même de l'arithmétique par de nombreux mathématiciens, les nombres parfaits n'ont pas d'utilité particulière, dans le sens où ils ne sont pas utilisés pour résoudre une équation, une factorisation et n'entre pas dans le champ de la cryptographie.

Ils étaient auparavant considérés comme supérieurs à tous les autres et certains voyaient un rôle mystique en eux : "Six est un nombre parfait en lui-même, non parce que Dieu a créé toutes choses en six jours, mais Dieu a créé toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait." Saint Augustin dans "La cité de Dieu" (420 après J.C.).

Ils sont un des mystères des mathématiques et la recherche de nouveaux nombres parfaits fascine encore aujourd'hui de nombreux mathématiciens.

Les conjectures en rapport avec les nombres parfaits sont nombreuses. Une conjecture est une règle qui n'a jamais été prouvée. En voici trois :

  • Les nombres parfaits d’Euclide sont tous pairs puisque l’un des facteurs est une puissance de 2. Mais rien ne prouve pour l’instant qu’il n’existe pas de nombres parfaits impairs,
  • Tous les nombres parfaits connus se terminent par 6 ou 28 mais encore une fois ce n'est peut-être pas vrai,
  • On n'a pas prouvé non plus qu'il existe réellement une infinité de nombres parfaits.

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La preuve des théorèmes des nombres parfaits

Que reste-t-il à découvrir en mathématiques ?
L'arrivée des ordinateurs a facilité la recherche de nombres premiers.
  • Le théorème de Fermat en 1640 : soit Mn = 2n − 1 ; si Mn est premier, alors n est premier.

Afin d'établir que lorsque 2− 1 est premier, n est lui-même premier, il faut démontrer l'affirmation si n est composé, alors 2− 1 est aussi composé.

Soit n = ab, avec a, b > 1, et l’identité xk − 1 = (x − 1)(xk-1 +xk-2 + · · · + x + 1) dans laquelle x = 2a et k = b.

Il suit alors 2ab − 1 = (2a − 1)(2a (b-1)+2a (b-2) + · · · +2a + 1), ce qui montre que 2n−1 = 2ab−1 est composé, puisque factorisé sous forme de deux facteurs chacun supérieur à 1 (car a > 1).

  • Le théorème d'Euclide : si Mn est premier, alors 2n-1 Mn est un nombre parfait.

On admet la fonction σ(n) comme la somme de tous les diviseurs de l’entier positif n. Un nombre parfait k est caractérisé par σ(k) = 2k.

La fonction σ a la propriété suivante : si a et b sont deux naturels premiers entre eux, alors σ(ab) = σ(a)σ(b).

Par ailleurs :

  • comme Mn est premier, on a σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2− 1) = 2n ;
  • σ(2n-1) = 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n-1 = 2n − 1 = Mn.

Alors σ(2n-1Mn) = σ(2n-1)σ(Mn) = M2= 2(2n-1Mn).

Quels sont les nombres parfaits ?

Combien de nombres parfaits existent ?
Un chercheur essayant de trouver un nombre parfait. (source : RTL - Pirate des Caraïbes)

Les nombres parfaits sont rares.

Même si tous les mathématiciens s'accordent pour dire qu'il y en a une infinité (jamais démontré), on n'en connaît que 50 aujourd'hui, sans même être sûr qu'il n'y a pas des nombres parfaits intermédiaires non découverts à partir du 47ème.

Le dernier découvert date de janvier 2018. La découverte d'un nouveau très grand nombre premier implique la découverte d'un nouveau nombre parfait et c'est ce qu'il s'est passé avec le nombre 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.

Il n'existe que trois nombres parfaits inférieurs à 1000 : 6, 28 et 496.

Un nombre parfait pair se termine apparemment par un 6 ou un 8, même si cela n'a jamais été démontré, mais pas systématiquement en alternance (cours de maths 3eme).

Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1(2n − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux).

Par ailleurs, tous les nombres parfaits pairs, à l'exception du premier, sont la somme des 2(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :

  • 28 = 13 + 33 ,
  • 496 = 13 + 33 + 53 + 73 ,
  • 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.

Les 8 premiers nombres parfaits

Les huit premiers nombres parfaits sont :

  • 8,
  • 28,
  • 496,
  • 8128,
  • 33 550 336,
  • 8 589 869 056,
  • 137 438 691 328,
  • 2 305 843 008 139 952 128.

Et voici les 42 suivants (et ça donne le tournis) :

  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176,
  • 288(289 - 1) : 54 chiffres,
  • 2106(2107 - 1) : 65 chiffres,
  • 2126(2127 - 1) : 77 chiffres,
  • 2520(2521 - 1) : 314 chiffres,
  • 2606(2607 - 1) : 366 chiffres,
  • 21278(21279 - 1) : 770 chiffres,
  • 22202(22203 - 1) : 1327 chiffres,
  • 22280(22281 - 1) : 1373 chiffres,
  • 23216(23217 - 1) : 1937 chiffres,
  • 24252(24253 - 1) : 2561 chiffres,
  • 24422(24423 - 1) : 2663 chiffres,
  • 29688(29689 - 1) : 5834 chiffres,
  • 29940(29941 - 1) : 5985 chiffres,
  • 211 212(211 213 - 1) : 6751 chiffres,
  • 219 936(219 937 - 1) : 12 003 chiffres,
  • 221 700(221 701 - 1) : 13 066 chiffres,
  • 223 208(223 209 - 1) : 13 973 chiffres,
  • 244 496(244 497 - 1) : 26 790 chiffres,
  • 286 242(286 243 - 1) : 51 924 chiffres,
  • 2110 502(2110 503 - 1) : 66 530 chiffres,
  • 2132 048(2132 049 - 1) : 79 502 chiffres,
  • 2216 090(2216 091 - 1) : 130 100 chiffres,
  • 2756 838(2756 839 - 1) : 455 663 chiffres,
  • 2859 432(2859 433 - 1) : 517 430 chiffres,
  • 21 257 786(21 257 787 - 1) : 757 263 chiffres,
  • 21 398 268(21 398 269 - 1) : 841 842 chiffres,
  • 22 976 220(22 976 221 - 1) : 1 791 864 chiffres,
  • 23 021 376(23 021 377 - 1) : 1 819 050 chiffres,
  • 26 972 592(26 972 593 - 1) : 4 197 919 chiffres,
  • 213 466 916(213 466 917 - 1) : 8 107 892 chiffres,
  • 220 996 010(220 996 011 - 1) : 12 640 858 chiffres,
  • 224 036 582(224 036 583 - 1) : 14 471 465 chiffres,
  • 225 964 950(225 964 951 - 1) : 15 632 458 chiffres,
  • 230 402 456(230 402 457 - 1) : 18 304 103 chiffres,
  • 232 582 656(232 582 657 - 1) : 19 616 714 chiffres,
  • 237 156 666(237 156 667- 1) : 22 370 543 chiffres,
  • 242 643 800(242 643 801 - 1) : 25 674 125 chiffres,
  • 243 112 608(243 112 609 - 1) : 25 956 377 chiffres,
  • 257 885 160(257 885 161 - 1) : 115 770 321 chiffres,
  • 274 207 280(274 207 281 - 1) : 44 677 235 chiffres,
  • 277 232 916(277 232 917 - 1).

Le 50e nombre parfait a été découvert par Jonathan Pace à la fin de l'année 2017. Vous pouvez aussi vous y essayer pour tenter de remporter 3 000 dollars. Bon, ce n'est pas très cher payé pour 14 années de travail (le temps que ça a pris à Jonathan Pace pour découvrir le 50e nombre parfait)...

A quoi servent les mathématiques au quotidien ?
Il y a 28 jours dans un cycle lunaire. Un nombre parfait, coïncidence ?

Les nombres parfaits impairs

Pour le moment, on ignore s'il existe des nombres parfaits impairs.

Tous les exemples sont des nombres pairs, mais cela ne veut pas dire qu'il n'existe aucun nombre parfait impair.

Même si les recherches avancent, aucune n'a permis pour l'instant d'affirmer ou d'infirmer cette hypothèse.

Carl Pomerance a publié une méthode heuristique suggérant l'inexistence d'un nombre parfait impair.

Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes (source : Wikipedia) :

  • N  doit posséder plus de 300 chiffres s'il existe et être supérieur à 101 500
  • N est de la forme 
    où :

    • qp1, … , pk sont des nombres premiers distincts (Euler),
    • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler),
    • Le plus petit facteur premier de N est inférieur à (2k + 8) / 3,
    • La relation e1 ≡ e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (modulo 3) n'est pas satisfaite,
    • qα > 1062 ou pj2ej > 1062 pour au moins un j,
    • N est inférieur à 24k+1
  • Si ei ≤ 2 pour tout i :
    • le plus petit diviseur premier de N est au moins 739,
    • α ≡ 1 (modulo 12) ou α ≡ 9 (modulo 12),
  • Le plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 108.
  • Le second plus grand diviseur premier de N doit être supérieur à 104 et le troisième à 100.
  • N doit comporter au moins 101 diviseurs premiers et au moins 10 diviseurs premiers distincts. Si 3 n'est pas un diviseur de N, alors N comporte au moins 12 diviseurs premiers distincts.

Si tant est qu'ils existent, aucun nombre parfait impair n'est divisible par 105. De plus, aucun nombre de Fermat ne peut être parfait.

Les notions apparentés aux nombres parfaits

  • Le nombre déficient : quand la somme des diviseurs est plus petite que le nombre, on dit que celui-ci est déficient.
  • Le nombre abondant : quand la somme des diviseurs est plus grande que le nombre, on dit qu'il est abondant.

Ces deux termes proviennent de la numérologie grecque.

  • Le nombre amical : quand la somme des diviseurs d'un nombre est la même que celle d'un autre nombre, ils sont dits amicaux. Les cycles plus étendus sont dits sociables.
  • Le nombre pratique : quand un entier positif est tel que chaque entier inférieur est la somme des diviseurs distincts du premier nombre, l'entier est dit pratique.

Les nombres triparfaits, multiparfaits, hyperparfaits et presque parfaits

Qu'est-ce que des nombres hyperparfaits ?
Les exercices de mathématiques sont déjà assez compliqués comme ça sans ajouter des nombres triparfaits !

Sur la base des nombres parfaits, il existe aussi des nombres triparfaits, multiparfaits et hyperparfaits.

Rassurez-vous, il y a peu de chance que votre prof de soutien scolaire vous interroge dessus, même lors d'un cours de math seconde. Mais si vous voulez en savoir davantage sur eux, voici quelques informations.

Les nombres triparfaits

Un nombre triparfait est toujours pair. S'il en existe un impair, il est supérieur à 1050. La somme des diviseurs du nombre triparfait, y compris lui-même, est égale à trois fois le nombre.

Par exemple, 120 est un nombre triparfait parce que 23 * 3 * 5 = 120.

On ne connaît que 6 triparfaits :

  • 120,
  • 672,
  • 523 776,
  • 459 818 240,
  • 1 476 304 896,
  • 51 001 180 160.

Les nombres multiparfaits

La somme des diviseurs d'un nombre multiparfait, y compris lui-même, correspond à k fois le nombre.

Les mathématiciens ont découvert plus de 500 nombres multiparfaits jusqu'à l'ordre 8 et ils pensent connaître tous les multiparfaits d'ordre 3 à 7 :

  • 25 x 33 x 5 x 7 est le premier tétraparfait,
  • 2x 3x 5 x 7 x 11² x 17 x 19, le premier pentaparfait,
  • Le plus grand connu est 7,3 10 1 345

Les nombres hyperparfaits

Un nombre hyperparfait est tel que : n = 1 + k(o(n) - n - 1).

Un nombre 1-hyperparfait est un nombre parfait.

  • Un nombre 2-hyperparfait (HP) est de la forme 2o(n) = 3n + 1 :
    • 21, 2 133, 19 521, 176 661...
  • Un nombre 3-HP est de la forme 3o(n) = 4n +2 :
    • 325 et aucun autre jusqu'à n = 1 000 000,
  • 4-HP : 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625,
  • Aucun 5-HP n'est connu,
  • 6-HP : 301, 16 513, 60 110 701, 1 977 225 901, 2 733 834545 701, 232 630 479 398 401.

Les nombres presque parfaits

On ne parle pas d'un dîner presque parfait mais bien des nombres presque parfaits ici. Il s'agit d'un entier naturel dont la somme des diviseurs propres est égale à lui-même duquel on additionne ou soustrait l'unité.

Toutes les puissances de 2 sont des nombres presque parfaits car la somme des diviseurs propres de chacun de ces nombres est égale au nombre diminué de 1. Ainsi la somme des diviseurs propres de 8 est 7, celle de 16 est 15, celle de 32 et 31, etc.

A ce jour, on ne connaît pas de nombres presque parfaits dont la somme des diviseurs propres est égale au nombre plus l'unité.

La connaissance des nombres parfaits, triparfaits, multiparfaits, hyperparfaits et presque parfaits ne vous sera d'aucune aide en classe au collège et lycée en exercices de maths.

Concentrez-vous plutôt sur la fraction, la division euclidienne, le logarithme ou encore le raisonnement en géométrie.

Mais si vous continuez en mathématiques, qui sait, peut-être les nombres parfaits deviendront-ils un sujet de recherche... Et puis, si les mathématiques vous passionnent, vous continuerez vos recherches sur le mystère des nombres parfaits. 

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Yann

Fondateur de SuperPROF, je suis dévoré par l'envie de découvrir et de toujours apprendre de nouvelles compétences.